exercice sur les matrices inversibles

paspythagore

Bonjour, je dois calculer $M^4, \ M^5,\ M^6$ les puissances d'une matrice $M$.
A part la méthode "bourrin" qui consiste à effectuer les calculs, je n'ai rien trouvé. Pourtant je pense qu'il doit y avoir plus "propre".
$M \ = \ \begin{pmatrix}2 &1 &1 \\1 &2 &1 \\1 &1 &2 \end{pmatrix} \qquad ; \qquad M^2 \ = \ \begin{pmatrix}6 &5 &5 \\5 &6 &5 \\5 &5 &6 \end{pmatrix} \qquad ; \qquad M^4 \ = \ \begin{pmatrix}86 &80 &80 \\80 &86 &80 \\80 &80 &86 \end{pmatrix}$
Etc.
$M$ est inversible, non diagonalisable et on a la propriété : $ M^2 \ + \ 5M \ + \ 4 Id_3 \ = \ 0$

Est-ce que ce que j'ai écrit est juste et est-ce qu'il y a moyen élégant, plus que de faire les calculs successifs, pour trouver une puissance de $M$ ?
Merci.

GERARD

Bonjour.

M² = -5M - 4 I
M³=M M² = -5 M² - 4 M = 25M + 20 I - 4 M = ...

Cordialement.

NB : Ce calcul explique aussi pourquoi on retrouve cette forme avec une seule valeur sur la diagonale et une seule valeur ailleurs.

-Omar-

Bonjour,

la matrice symétrique réelle est.... diagonalisable...
Les valeurs propres sont 1, double et 4, simple, de polynôme minimal
$X^2-5X+4$.

Amicalement
Omar

paspythagore

Merci.

Je pense que mes soucis viennent de là. Je ne sais pas trouver le sev engendré par la racine 1.
Aprés avoir recommencé, j'obtiens :

$\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 1&2 &1 \\1 & 1&2 \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} 1& 0&0 \\ 0 & 1& 0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 1&1 &1 \\1 &1 &1 \\1 & 1 &1 \end{pmatrix}$

Les vecteurs propres associés à 1 vérifient : x + y + z = 0
Ils sont de la forme :

$\begin{pmatrix} -z \ -y\\y \\z \end{pmatrix}$

En prenant y = 0 puis z = 0, on obtient le sev :

$\begin{pmatrix} -1& -1 &0 \\ 0& 1 &0 \\1 & 0&0 \end{pmatrix}$

Le sev engendré par la racine double est de dimension 2 et P(X) admet trois racines, donc M est diagonalisable.

Bruno

Bonjour paspythagore.

Il me semble que tu n'as pas lu assez attentivement les interventions de Gérard et de Omar trop centré sur tes idées.
\begin{enumerate}
\item Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. C'est le début du rappel d'Omar.
\item Toute matrice diagonalisable annule un polynôme scindé à racines simples. Concernant ton problème direct on en déduit qu'au pire tu peux trouver $M^3$ en fonction de $M^2,\ M$ et $I_3$.
\item Dans le cas particulier qui te concerne, il y a une valeur propre double et le polynôme est du second degré ; c'est le polynôme donné par Gérard et redonné par Omar.
\end{enumerate}
Tu devrais faire ton miel de cette méthode .

Bruno

-Omar-

En faisant classiquement la division de $X^k$ par le polynôme minimal $X^2-5X+4$ (en se servant des deux racines 1 et 4), on trouve $X^k=(X-1)(X-4)Q(X)+\frac{4^k-1}{3}X-\frac{4^k-4}{3}$. Cela donne
$M^k=\frac{4^k-1}{3}M-\frac{4^k-4}{3}I_3$.

Omar

paspythagore

Il me semble que tu n'as pas lu assez attentivement les interventions de Gérard et de Omar trop centré sur tes idées.

Oui effectivement, je cherchais où j'ai fait une erreur pour mes vecteurs propres.

Cela ne m'a empêché de remarquer que le simple fait que M soit symétrique permet de conclure qu'elle est diagonalisable.

$M² = -5M - 4 I$
$M^3=M M² = -5 M² - 4 M = 25M + 20 I - 4 M = ... $
De voir cette méthode pour laquelle je m'étais arrêté à : $M² = -5M - 4 I$

Par contre, je ne comprends pas :

$ X^k=(X-1)(X-4)Q(X)+\frac{4^k-1}{3}X-\frac{4^k-4}{3}$.

Ni :

Toute matrice diagonalisable annule un polynôme scindé à racines simples. Concernant ton problème direct on en déduit qu'au pire tu peux trouver $ M^3$ en fonction de $ M^2,\ M$ et $ I_3$.

En tous cas merci, j'avance un peu.

gb

Bonjour,

paspythagore écrivait:

---

> Par contre, je ne comprends pas :
> $X^k=(X-1)(X-4)Q(X)+\frac{4^k-1}{3}X-\frac{4^k-4}{3}$.


Comme le dit Omar, il s'agit d'une simple division euclidienne de \(X^k\) par \((X-1)(X-4)\), le reste étant écrit sous la forme \(aX+b\). Il est parfois plus pratique, \((X-1,\X-4)\) étant une base de l'espace des polynômes de degré au plus 1, d'écrire le reste sous la forme \(a(X-1)+b(X-4)\), donc la division euclidienne sous la forme
\[X^k=(X-1)(X-4)Q(X)+a(X-1)+b(X-4).\]
Les évaluations en 4, puis en 1, fournissent \(a = \dfrac{4^k}{3}\), \(b = -\dfrac{1}{3}\), et l'évaluation en \(M\) te donne l'expression d'une puissance quelconque de \(M\) sous la forme
\[M^k = a(M-I)+b(M-4I) = \frac{1}{3} \lbigl(4^k(M-I)-(M-4I) \bigr)\]
qui se prête bien aux calculs.

Bruno

Pour la formule d'Omar, il fait simplement la division euclidienne du polynôme $X^k$ par le polynôme minimal $(X - 1)(X - 4)$. Le reste est un polynôme du premier degré $a\,X + b$ et il détermine $a$ et $b$ en substituant successivement $1$ et $4$ à $X$.

En ce qui concerne ma propre phrase, on raisonne ainsi : puisque la matrice est d'ordre $3$, son polynôme caractéristique est de degré $3$ et $M$ l'annule donc il existe trois scalaires $u,\ v$ et $w$ tels que :$$M^3 + u\,M^2 + v\,M + w\,I_3 = (0)$$ce qui donne une formule de récurrence entre $M^{k+3},\ M^{k+2},\ M^{k+1}$ et $M^k$. Comme une valeur propre est double, la récurrence descend d'un cran.

bruno

paspythagore

Merci, je vais cogiter tout ça.

paspythagore

Je crois que j'ai compris, le plus dur sera de s'en souvenir.

Une dernière question (pour aujourd'hui) :
J'ai un polynôme $P(X) \ = \ \frac{X^n}{n} \ - \ X \ + \ 1$ avec $n \geq 1$

et $e^{\frac{i2k \pi}{n}}$ les racines de son polynôme dérivée P' avec $k \ \in \ \left\{0, 1, ..., n-1 \right\}$

Je dois démontrer par l'absurde que P a n racine distinctes dans $\mathbb{C}$

P' a n-1 racines distinctes et P a au moins n racines (dont au moins n-1 distinctes).

Et après, je ne sais pas, j'essaie de trouver une expression de P en fonction de P' mais ça ne marche pas...

Merci de votre aide.

Bruno

Une racine de $P$ est multiple si, et seulement si, c'est une racine de $P'$.

Bruno

Bu

"$ e^{\frac{i2k \pi}{n}}$ les racines de son polynôme dérivée $P'$ avec $ k \ \in \ \left\{0, 1, ..., n-1 \right\}$"

Vérifie, ce n'est pas ça. Ecris explicitement le polynôme dérivé $P'$.

Bruno t'a soufflé condition nécessaire et suffisante pour qu'une racine de $P$ soit une racine multiple.

Cordialement.

PS : alors, tu boudes le forume Mathematex? Marre des formes quadratiques dégénérées?

paspythagore

Merci, j'essaie avec ça. Non je ne boude pas, je suis noyé dans mes devoirs.

paspythagore

$ P'(X) \ = \ X^{n-1} \ - \ 1 \ $

Les racines sont : $ e^{\frac{i2k \pi}{n-1}}$ avec $ k \ \in \ \left\{0, 1, ..., n-2 \right\}$

Une racine de $ P$ est multiple si, et seulement si, c'est une racine de $ P'$.

$ e^{\frac{i2a \pi}{n-1}}$ ne peut pas être racine de P avec a une valeur "fixée" de l'ensemble $\left\{0, 1, ..., n-2 \right\}$ ?

Je n'y arrive pas.

Bruno

Posons $x_k = e^{2ik\pi/(n-1)}$ un zéro de $P'$, alors:$$P(x_k) = \frac{x_k^n}n - x_k + 1$$or $x_k$ est d'ordre $n-1$, donc $x_k^n = x_k$ et tu conclus que $P(x_k) \neq 0$.

Bruno

paspythagore

Merci, avec la réponse, ça paraît simple.

A bientôt.