calcul diff

hilton

Bonjour
Soit alpha de R dans R^3 définie par

alpha(0)=(0,0,0)
alpha(t)=(t,(t^2)cos(1/(t^2)),(t^2)sin(1/(t^2)))

Cette courbe est-elle régulière ?
tangente en 0 (le cas échéant la déterminer) ?
Plan osculateur en 0 (le cas échéant le déterminer ?
rectifiable ?

Si vous pouviez répondre à ces questions sans justifier c'est juste pour moi vérifier

Merci beaucoup
Bonne journée

remarque

Que veut dire régulière dans ce contexte ? La tangente en 0, on dirait bien la droite $t \mapsto (t,0,0) $. Le plan osculateur... faudrait calculer mais je n'y crois pas trop.

C'est une jolie courbe !

hilton

moi j'ai trouvé reguliere pas de tangente pas de plan oscu et non rectifiable

sympa davoir repondu

gb

Bonjour hilton,

\(\alpha\) est dérivable sur \(\R\), donc il y a une tangente en tout point.
Comme remarque, je ne crois pas trop à l'existence du plan osculateur\dots

hilton

ok gb
cela dit je reste perplexe sur lexistence de la tangente

merci a vous deux pour votre contribution

bonne journée

remarque

Tu peux montrer que la fonction $\alpha$ est dérivable en $t=0$ et calculer sa dérivée. Elle te donnera la tangente. Par contre, la courbe n'est pas $C^1$ en $0$. Enfin, on « voit » la tangente sur le dessin...

gb

Bonjour hilton,

Si \(\alpha\) est dérivable en 0, il y a une tangente à l'origine !!

Sinon, il faudrait nous dire quelles sont des definitions
– d'une courbe régulière ;
– de la tangente en un point ;
– du plan osculateur en un point.

Ga?

gb: "$ \alpha$ est dérivable sur $ \mathbb{R}$, donc il y a une tangente en tout point."

Par exemple, dans le plan :
$$\alpha(t)= \begin{cases}
(0,0) & \mbox{ si } t=0,\\
(e^{-1/t},0) & \mbox{ si } t>0,\\
(e^{1/t}, e^{1/t}) & \mbox{ si } t<0.
\end{cases}$$
C'est $\mathcal{C}^\infty$ sur $ \mathbb{R}$, mais quelle est la tangente à l'origine?

Bon, d'accord, je pinaille.

Cordialement.

gb

Merci Ga?

Tu ne pinailles pas\dots

Soyons précis: \(\alpha\) est dérivable en 0, {\bf de dérivée non nulle}, donc il y a une tangente à l'origine.

remarque

Pinaillage mis à part, c'est pourquoi on aurait aimé avoir les définitions utilisées par hilton...

Edit : ceci dit, je n'avais pas fait gaffe non plus...:o

hilton

Mes définitions énoncées en cours sont celles ci :

tangente : (en réalité j'en ai plusieurs)

On dit qu'une courbe paramétrée alpha : I --> E admet une tangente delta(zero) en to € I si:
1) Il existe W un voisinage de t(zero) dans I tq pour tout t € W-{t(zero)}, alpha(t) différent alpha(t(zero))
2) Les droites delta(t) joignant alpha(t) alpha(t(zero)) (t € W)) tendent vers la position initiale..


Plan osculateur : on dit qu'un courbe paramétrée alpha : I --> R³ admet un plan osculateur P(zero) en t(zero) € I si :
1) alpha admet une tangente delta(zero) en t(zero)
2) Il existe W un voisinage de t(zero) dans I tq pour tout t € W-{t(zero)), alpha(t) n'appartient pas à delta(zero)
3) Les plans P(t) contenant alpha(t) et delta(zero) (t € W) tendent vers le plan limite P(zero).

En fait c'est surtout avec les exemples que l'on comprend ces définitions.
Désolé pour le latex...

gb

hilton écrivait:

---

> tangente : (en réalité j'en ai plusieurs)
>
> On dit qu'une courbe paramétrée alpha : I --> E
> admet une tangente delta(zero) en to € I si:
> 1) Il existe W un voisinage de t(zero) dans I tq
> pour tout t € W-{t(zero)}, alpha(t) différent
> alpha(t(zero))
> 2) Les droites delta(t) joignant alpha(t)
> alpha(t(zero)) (t € W)) tendent vers la position
> initiale.


Dans cet exemple, la première coordonnée de \(\alpha\) est injective, donc tout voisinage W convient pour la première condition.
Quant à la seconde, pour quelle est la topologie faut-il comprendre « la droite tend vers » ?

Ici, la dérivabilité devrait pouvoir donner la limite \(\delta(0)\) de la sécante \(\delta(t) = \bigl(\alpha(t)\alpha(0)\bigr)\) lorsque \(t\) tend vers 0.
Pour le plan osculateur, il faudrait écrire proprement la définition du plan \(P(t)\) défini par la tangente \(\delta(0)\) et le point \(\alpha(t)\).

P.S. Pour pinailler, il faut entendre \(t\) non nul dans les deux dernières phrases.