Qu'est-ce que C (ou R ou K[X]...) ?

Bonjour

Je précise le titre de mon sujet :

Il existe diverses constructions de $\mathbb C$ (${\mathbb R}^2$ muni de lois ad-hoc, quotient de ${\mathbb C}[X]$ par l'idéal engendré par $X^2+1$, ensembles des matrices réelles de la forme
$\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$ et sûrement une foultitude d'autres), qui sont toutes équivalentes au sens où tous les objets construits sont isomorphes (en tant que corps).

D'où ma question : que désigne $\mathbb C$ {\it précisément} (et cela vaut pour tous les objets pour lesquels on établit un théorème du type : "il existe un unique ensemble (à isomorphisme près) vérifiant blablabla") ?

L'ENSEMBLE ${\mathbb C}$ a-t-il une existence "réelle" (dans le "monde" des mathématiques bien sûr, il ne s'agit pas ici de trancher le stérile débat entre les platoniciens et les autres) , une classe d'équivalence par exemple, ou bien n'est-ce une notation commode pour désigner n'importe quel corps extension de degré 2 de ${\mathbb R}$ contenant un élement dont le carré vaut $-1$ ?

Merci.

Réponses

  • Bonjour Detourre.

    Ma réponse n'est pas une esquive : C'est celui des objets isomorphes que tu veux (Par exemple l'ensemble des matrices). Bien évidemment muni des lois qui en font un sur-corps de $ \R $.
    $ \R $ lui-même qui est l'un des ensembles que l'on utilise pour définir $ \R $ (muni des lois qui en font un corps archimédien et un sur-corps de $ \Q $.
    $ \Q $ qui lui-même ...

    Je n'esquive pas le problème car ce qui compte quand on traite un problème de nombres réels ou complexes, ce n'est pas l'objet caché sous le nom de $ \pi $ ou $1+i$, mais les calculs que l'on fait avec. Et comme les différentes constructions donnent des corps isomorphes, les calculs sont les mêmes.

    Il est possible que la classe des objets définissables comme $ \C $ soit effectivement un ensemble (j'aurais tendance à le penser, mais je ne connais pas assez le domaine pour être affirmatif), mais on n'a pas besoin de fabriquer une classe d'équivalence quand on a un représentant effectif. De même, tu as appris à compter avec des représentants effectifs de 3 : 3 points, 3 cubes, 3 bûchettes, ... Tu n'as pas besoin de connaitre toutes les réalisations possibles de 3 pour bien le manipuler.

    Cordialement
  • Gerard a écrit:
    Je n'esquive pas le problème car ce qui compte quand on traite un problème de nombres réels ou complexes, ce n'est pas l'objet caché sous le nom de pi ou 1+i, mais les calculs que l'on fait avec.

    Tout à fait d'accord en pratique sauf que faire des maths, ce n'est pas simplement utiliser des objets mathématiques comme le feraient un physicien, un ingénieur voire un élève de lycée (ne parlons même pas du collège).

    Par exemple, se poser des questions sur l'utilisation de l'axiome du choix me parait être un sujet de maths intéressant même si concrètement aucun mathématicien (ou presque) ne se soucie lors de ses recherches du fait que AC y intervienne ou non.

    Dans le même ordre d'idée, je me posais donc une question "ontologique" sur la nature de certains objets couramment utilisés, même si je ne me pose bien évidemment jamais ces questions lorsque je dois faire le moindre exercice sur les nombres complexes ou les polynômes.

    Ce genre de problèmes ne me semble pas du reste si anecdotique, bon nombre d'étudiants de L1 ou de CPGE croient bien souvent qu'un polynôme est une suite à support fini, alors que ces dernières n'en constitue qu'une représentation, peut-être "naturelle" mais parfois trompeuse (qui songerait à intégrer/dériver/factoriser des suites...).
  • En fait,

    il me semble que ces questions ne sont pas des questions "mathématiques", mais des questions philosophiques. Je m'explique :
    * Le fonctionnement des mathématiques n'utilise pas toujours les significations des objets. Son cœur c'est la démonstration, et on peut appliquer des règles à des objets pourvu qu'ils soient dans le domaine d'application de la règle. On pourra ainsi dériver des suites, ou des séries formelles, ou définir la dérivée d'une fonction discontinue (distributions) ou étendre la notion de probabilité conditionnelle là où elle ne fonctionne plus grâce à l'espérance conditionnelle. Après, on s'habitue, et on est "familier" avec ces méthodes.
    * Tu le dis toi même, "je me posais donc une question "ontologique" sur la nature de certains objets". Cette réflexion sur le "contenu" des mathématiques, leur lien avec les autres sciences ("l'incroyable efficacité des mathématiques"), et avec la réalité est une vraie question philosophique. j'ai beaucoup lu, je n'ai pas de certitude. Tu peux lire avec intérêt Poincarré, Lakatos (et son inspirateur Popper), Cavailles, Desanti, ou les réflexions de Gödel.

    Cordialement
  • Bonjour,

    Je ne suis qu'un étudiant de 2ème cycle, mais la question m'intéresse.

    N'est-ce pas une question piégée que tu pose Detourre ? Il me semble que la plupart des objets mathématiques sont dénués de dénotation, c.-à-d. ne sont pas "proprement" définis... seules leurs relations le sont, non ?

    $i$ est le nombre qui répond à la relation $i^2=-1$, d'où les complexes sont l'extension de corps correspondante $\C=\R[X]/(X^2+1)$, autrement dit on définit les complexes par leurs propriétés, on ne leur donne pas de "nature" ou "d'existence". (vais-je dans le sens de ta réponse GERARD ?)

    Un exemple plus visuel : un point, une droite ou un plan ne sont pas définis, mais leurs relations mutuelles le sont. La célèbre citation de Hilbert à ce sujet est très claire (on devrait pouvoir remplacer les mots point, droite et plan par les mots table, chaise et tasse).

    Cordialement,
    Johann
  • Salut TigerFou.

    Ton interprétation est assez classique, et souvent défendue par les matheux. Ce n'est pas tout à fait la mienne, et la plupart des matheux l'utilisent en contradiction avec leur pratique : Dans leur fonctionnement des maths, i a une réalité, et il y a bien un seul i.
    Pour moi, les objets mathématiques se construisent de proche en proche (à partir des nombres entiers par exemple, ou de la théorie des ensembles). Le fait qu'il y ait plusieurs constructions possibles ne me gène pas car la construction ne sert qu'à leur donner corps, un statut "ontologique" pour parler philo. C'est d'ailleurs un drôle de corps, entièrement abstrait, mais qui a une influence sur la réalité (les idées peuvent avoir une sacrée influence sur les êtres concrets).

    D'ailleurs, "on pourrait aussi bien remplacer plan, droite et points par table, chaise et bock de bière" est une pochade, une plaisanterie (destinée à expliquer le fond de la preuve géométrique) attribuée à Hilbert, je crois, mais un géomètre connaît très bien "le" plan euclidien. Ce n'est pas une table !

    Enfin, je te propose de réfléchir à ce que tu écris : C'est évident : "la plupart des objets mathématiques sont dénués de dénotation, c.-à-d. ne sont pas "proprement" définis... seules leurs relations le sont".
    Je ne vois pas comment définir clairement les relations entre des "choses" mal définies. Surtout avec la rigueur du mathématicien. Mais je n'ai pas de réponse à mes propres questions.

    Cordialement
  • Le problème de la définition des objets mathématiques est précisément le problème des fondements justement...

    Pour pouvoir définir rigoureusement un concept, il faut qu'on le définisse à partir de concepts eux-mêmes rigoureusement définis. C'est le problème de l'autoréférence que l'on ne peut résoudre qu'en acceptant a priori des "indéfinissables". Ceux-ci ne sont pas quelconques pour autant mais issu de l'intuition, comme le concept d'ensemble.

    Et cela n'empêche pas d'avoir une vision (intuitive) très précise de ce qu'est un tel objet (edit : ou de son unité). Et à partir de là de définir les ordinaux, et les relations fondamentales qui garantissent la cohérence de cette structure, tout cela de proche en proche.

    Le fait que les symboles mathématiques comme l'ensemble vide $\{ \,\}$ soient dénués de dénotation n'empêche aucunement qu'ils aient un sens : un ensemble qui ne contient rien est très naturel, mais c'est un objet idéal, on ne lui donne une existence que lorsque l'on construit un modèle sémantique qui lui donne une dénotation, par exemple l'ensemble vide peut désigner l'ensemble des vaches bleues, puisqu'il n'en existe pas (on ne compte pas la vache milka ;)).

    Après, on peut ne pas être satisfait par le recours à l'intuition pour définir les premiers objets, mais le fait est qu'on apprends les maths grâce à l'intuition, l'induction physique même : quand un bébé est surpris parce qu'il a vu un objet disparaitre, c'est bien qu'il a compris que c'était un phénomène rare, une anomalie, de la même manière les objets ne se dédoublent pas non plus, c'est de là que doit venir l'intuition de l'unité.

    Cordialement,
    Johann
  • Certaines branches des mathématiques ne correspondent
    qu'à la réalité de notre esprit (matériel),
    et à aucune autre réalité.
  • Attention, ne confonds pas (je parle à détour) la "vaguitude" du souvenir que tu as de la définition... En maths, il existe plusieurs $\C$, tous isomorphes, certes, {\bf mais un cours valide en appelle un $\C$ et pas les autres}

    Le fait que 2 structures isomorphes sont considérées par les matheux comme indiscernables par leurs apports heuristiques est une autre affaire. C'est même intéressant en soi.

    Il y a par contre des notions (mais pas $\C$) où on définit facilement la classe d'isomorphismemais où on n'a même pas d'objet privilégié* dedans: (* en un sens non efficace, juste on peut y définir facilement un objet). Dans le cas de $\C$, au moins, on a l'embarras du choix.

    Plus notable et digne de défi est le fait qu'il y a vraiment 2 $\C$ par $\C$ à cause du fait que $i$ et $(-i)$ jouent très exactement le même rôle: mais je pense que c'est à rapprocher de l'existence de 2 orientations des ev sur $\R$

    Je crois que dans les cours (bien faits de premier cycle), ils choisissent comme définition de $\C$ le quotient habituel de $\R^2$ muni de .. par la relation d'équivalence .. car ça évite (je suppose) aux enseignants de se contraindre à voir les polynomes avant.

    Pour Gérard et les autres, à propos des entiers: $n+1:=n\cup\{n\}$ et $0:=\emptyset$ c'est naturel, car le moyen le plus primitif pour ajouter un élément à un ensemble: on lui ajoute lui-même.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Plus notable et digne de défi est le fait qu'il y a vraiment 2 $ \mathbb{C}$ par $ \mathbb{C}$ à cause du fait que $ i$ et $ (-i)$ jouent très exactement le même rôle: mais je pense que c'est à rapprocher de l'existence de 2 orientations des ev sur $ \mathbb{R}$.
    Je ne trouve pas ta formulation $2\,\C$ par $\C$ très heureuse ni très éclairante B-) ! Puisque justement tu introduis l'orientation du plan affine réel, dis-tu par analogie qu'il y a deux plans par plans ?

    Bruno
  • Oui, tu as raison, je ne sais comment le dire autrement sans en écrire trop long. Ca m'a toujours fasciné d'ailleurs ce truc: la communauté scientifique mondiale obligée de "choisir" un sens direct (d'ailleurs pourquoi le sens inverse des aiguilles d'une montre??). Donc je précise:

    Considérons les corps isomorphes à $\C$. Ce que j'entendais par ma remarque, c'est qu'ils vont par 2, l'un s'obtenant à partir de l'autre par la conjugaison. Entre 2 corps isomorphes à $\C$ pas par conjugaison, encore, peut-on dire qu'ils se distinguent un peu l'un de l'autre pour d'autres raisons, mais entre un corps et son conjugué c'est vraiment des vrais jumeaux.. D'ailleurs je crois (je n'en suis pas sûr) que chez les jumeaux c'est pareil (l'un est gaucher l'autre droitier: il me semble avoir entendu ça quelque part)

    Histoire d'illustrer par des calculs que je ne fais jamais:

    $(a-ib) + (x-iy) = (a+x) + (-i).[b+y]$

    et

    $(a-ib)(x-iy)=(ax-by) + (-i).[ay+bx]$

    c'est grisant...

    On s'est tous trompé, lol, en fait on ne s'est pas aperçu que le couple $(0;1)$ représente $(-i)$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • bonjour

    l'ensemble R réunit tous les nombres à une dimension qui peuvent être représentés
    par tous les points d'une droite comportant une origine et un vecteur unitaire
    l'ensemble R inclut donc les nombres entiers naturels, les entiers relatifs, les rationnels et irrationnels

    l'ensemble C réunit tous les nombres à deux dimensions qui peuvent être représentés
    par tous les points du plan comportant un point origine, et deux axes avec deux vecteurs orthonormés
    les nombres complexes sont symbolisés par z = x + iy
    x dimension (ou partie) réelle, y dimension (ou partie) imaginaire, et i vecteur unitaire de l'axe des y

    l'ensemble C est un prolongement de R dans la mesure où R
    représente les complexes comportant une seconde dimension (imaginaire) nulle

    d'autre part C admet un prolongement avec les matrices carrées 2x2 qui sont des nombres à 4 dimensions
    dans la mesure où les complexes z = x + iy peuvent être symbolisés par une matrice antisymétrique
    (x -y)
    (y x)
    les complexes ne sont donc qu'un cas particulier des matrices carrées 2x2, nombres à 4 dimensions
    ou encore un cas particulier des quaternions proposés par Hamilton

    cordialement
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