Equation de droite en géométrie projective

Bonjour,
en travaillant avec un collègue, nous n'avons pas le même point de vue : j'aimerais avoir votre opinion.
Le travail consiste à faire de la synthèse d'image (i.e. afficher des scènes 3D) avec un algorithme projectif. Nous avons deux droites gauches $\Delta_A$ et $\Delta_B$ et un point $M$ de l'espace affine n'appartenant à aucune de ces deux droites. On cherche un point $M_A$ de $\Delta_A$ et un point $M_B$ de $\Delta_B$ tels que $M$, $M_A$ et $M_B$ soient alignés.

{\bf Première vision :}
En affine, une droite $\Delta$ peut être donnée par un point $A$ et un vecteur $\overrightarrow{u}$ ce qui fait que le point $M(t)$ appartient à $\Delta$ ssi : $$M(t) = A + t \overrightarrow{u}$$ et le passage en géométrie projective i.e. en coordonnées homogènes se passe tranquilement, on met la coordonnée supplémentaire à $1$ pour le point et à $0$ pour le vecteur.

{\bf Seconde vision :}
En projectif, nous avons deux points $A$ et $B$ et l'équation de la droite $(AB)$ est de la forme :$$\lambda A + \mu B$$

Pour revenir dans l'espace affine, dans la première vision, on court-circuite la relation d'équivalence, dans la seconde, on est obligé de considérer cette relation.

{\bf Question :}
Sans perdre en généralité, peut-on écrire :
$$M=\lambda (A+t \; \overrightarrow{u} ) + \mu ( B + k \overrightarrow{v})$$ où $A$ est un point de $\Delta_A$, $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de $\Delta_A$, $B$ est un point de $\Delta_B$ et $\overrightarrow{v}$ un vecteur directeur de $\Delta_B$ où faut-il mieux écrire :
$$ M = \lambda A_k + \mu B_k$$ avec : $$A_k=\lambda_A A + \mu_A A'$$ et $$B_k=\lambda_B A + \mu_B B'$$
où $A$ et $A'$ sont des points de $\Delta_A$, $B$ et $B'$ sont des points de $\Delta_B$.

Dans le premier cas, nous avons $4$ équations linéaires à $4$ inconnues $\lambda$, $\mu$, $\alpha=\lambda \times t$ et $\beta = \mu \times k$, dans le second cas, nous avons $4$ équations à $6$ inconnues $\lambda$, $\mu$, $\lambda_A$, $ \mu_A$, $\lambda_B$ et $\mu_B$.

J'insiste sur le fait que la solution doit être analytique puisque nous devons implémenter le résultat.

Merci d'avance à toute personne qui me répondera.

Lionel

Réponses

  • Bonjour Lionel.

    Je comprends mal cette discussion. Si $A(a,a',a'')$ et $B(b,b',b'')$ sont deux points distincts du plan projectif muni d'un repère projectif, une équation de la droite $(AB)$ est :$$\begin{vmatrix}X &a &b \\ Y &a' &b' \\ Z &a'' &b''\end{vmatrix} = 0$$Ça ne marche pas ?

    Bruno
  • Salut Bruno,
    nous sommes dans l'espace 3D et les droites sont gauches.

    Lionel
  • "Les droites sont gauches" ::o

    Donc ce sont des intersections de plans. J'y réfléchis un peu plus.

    Bruno
  • Et une représentation barycentrique ? $A(a,a',a'')$ (dans l'espace), $B(b,b',b'')$ et $M(x,y,z)$ ; le point $M$ appartient à $(AB)$ si, et seulement si :$$\exists\,(m,n) \qquad x = \frac{ma + nb}{m+n}, \quad y = \frac{ma' + nb'}{m+n}, \quad z = \frac{ma'' + nb''}{m+n}$$ce qui se transpose aisément en coordonnées homogènes.

    Bruno
  • Oui, mais cela revient à avoir $6$ inconnues (trois par couples de points alignés) et $4$ par équation :-(

    En fait, la question est de savoir si dans la première version, il n'y a pas de perte de généralité.:S
  • C'est le rapport entre la version 1 $M(t) = A + t\,\vec u$ et la version 2 $M(\lambda,\mu) = \lambda\,A + \mu\,B$ qui est l'objet de la controverse ?

    Bien entendu qu'il y a perte de généralité : tu perds un point dans la première représentation puisque cette première équation représente une droite affine (point à l'infini $\vec u$) et la second une droite projective.

    Bruno

    P.S. Des détails ?
  • Oui, j'ai oublié de dire, au temps pour moi, qu'aucune des droites $\Delta_A$ et $\Delta_B$ ne sont dans l'hyperplan de l'infini.

    Je mets le papier avec l'algorithme qui permet de construire un carreau de Bézier modélisant un carreau de supercyclide qui est en fait une surface {\it Double Blutel}.

    Le but et d'obtenir une représentation en Double Blutel du carreau de Bézier. Nous avons $9$ points de contrôle $C_{ij}$, $0\leq i,j \leq 2$, et deux droites gauches $\Delta_A$ et $\Delta_B$.

    Pour chaque point de contrôle $C_{i_0j_0}$, nous devons trouver un point $A_i{_0}$ sur $\Delta_A$ et un point $B_j{_0}$ sur $\Delta_B$ d'où :
    $$ C_{i_0j_0}=\lambda_{i_0j_0} A_i{_0} + \mu _{i_0j_0} B_j{_0}$$

    Nous cherchons ainsi les points $A_i{_0}$ et $B_j{_0}$ et les scalaires $\lambda_{i_0j_0}$ et $ \mu _{i_0j_0}$. Nous avons les équations des droites $\Delta_A$ et $\Delta_B$ aussi bien en paramétriques qu'en implicites (intersection de faisceaux de plans).

    Lionel
  • Lionel, je n'avais rien compris.

    Tu prends les équations "implicites" de tes deux droites. Tu écris l'équation cartésienne du plan défini par $\Delta_A$ et $C_{i_0j_0}$ (respectivement $\Delta_B$ et $C_{i_0j_0}$. La droite d'intersection de ces deux plans est la droite $(C_{i_0j_0}A_{i_0j_0})$.

    Bruno

    ps envoie-moi ton numéro de téléphone par mp, qu'on discute de vive voix.
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