Axiomes de fondement de l'analyse

Pour fonder l'analyse mathématique quels axiomes mathématiques sont-ils nécessaires ?
Ainsi :
Les 5 axiomes de Peano pour fonder l'arithmétique,
L'axiome d'Archimède (est-il nécessaire d'ailleurs ?)
L'axiome de démonstration par récurrence
sont-ils suffisant ?
J'espère que ma question a un sens ?

Réponses

  • L'analyse a-t-elle besoin d'axiomes ? Oh ben non, ça se fait à la bonne franquette ! :D

    Ceci dit, c'est quoi l'analyse ?

    Pour l'axiome d'Archimède, clairement non. On fait aussi de l'analyse ultramétrique.
  • Ce que les spécialistes ont décidé de considérer comme l'analyse est généralement décrite par les axiomes de Zermelo + l'axiome du choix dépendant + l'axiome de fondation

    L'axiome du choix dépendant est:

    pour tout E et toute relation R incluse dans $E^2$, il existe une suite u d'éléments de E telle que pour tout entier n, si $(u_n;u_{n+1})\notin R$ alors pour tout $x\in E: \ (u_n;x)\notin R$

    Les axiomes de Zermelo sont ceux qui disent que toute collection incluse dans un ensemble est un ensemble + l'ensemble des entiers existent + tout ensemble a un ensembles des parties + toute collection finie est un ensemble + toute réunion d'un ensemble* est un ensemble + l'axiome d'extensionnalité: 2 ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux (égal veut dire tout ce qui arrive à l'un arrive à l'autre)

    La réunion de A est la collection des $x$ tels que $\exists y\in A: x\in y$

    Souvent aussi, on appelle "axiomes de l'analyse" les axiomes ci-dessus sauf l'ensemble des parties, que l'on restreint à "l'ensemble des sous-ensembles de $\N$ existe (ie la collection des parties de $\N$ est un ensemble)

    Tu peux entendre aussi (c'est équivalent à la version2 ci-dessus) que les axiomes de l'analyse sont l'arithémtique du seconde ordre
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ben mince, j'y reconnais pas mes petits. Mais si tu le dis ! :)o
  • Merci pour ta réponse Christophe
    Remarque a écrit:
    Ben mince, j'y reconnais pas mes petits. Mais si tu le dis !
    Effectivement, j'attendais aussi quelque chose de plus simple, un peu comme les axiomes de Hilbert de la géométrie.
    Ce que j'appelle l'analyse reste, bien sûr, un peu flou. Disons pour faire simple, l'étude des limites des suites et des fonctions réelles dans IR, la dérivabilité des fonctions réelles et leurs études, l'intégration élémentaire. Grosso modo, ce qu'on trouve au lycée.
  • pour Krivine l'analyse c'est la logique classique + une variante de l'axiome du choix.
  • Oui, mais tous ces objets sont "prouvés" (ce serait de la folie pour la science de les admettre).

    Imagine un avion qui s'écrase dont le moteur a été construit en "croyant" à certains théorèmes fins sur la dérivabilité...

    Les axiomes doivent être bcp plus simples et "certains".

    Un réel est essentiellement un ensemble de couples d'entiers quotienté par une certain relation d'équivalence, les fonctions continues, et l'intégration idem, etc. Tu sais que juste avec le théorème des valeurs intermédiaires admis on preuve la consistance de Péano, donc "faire de l'analyse" n'est pas si "inoffensif" que ça en termes de pari.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ah ouais j'oubliais peut-être de te rappeler (ou t'informer) l'essentiel:

    un entier est un élément qui appartient à tous les ensembles inductif et "x+1" veut juste dire "x union {x}" et 0 est l'ensemble vide

    Une fois que tu sais ça, tu reconstruis tout tout seul assez facilement je pense.

    (le couple (a,b) est l'ensemble {{a};{a,b}})
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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