Découverte par ordinateur, réalisme et antiréalisme

bs

Bonjour,

La lecture d'un article "Découverte par ordinateur" de Jean-Paul Delahaye dans un ancien numéro Sciences et Avenir (Hors Série 2001 -Les grandes découvertes) me fait découvrir tout un vocabulaire dont j'ignorais en grande partie l'existence :

-> les adeptes du réalisme avec platonisme ou réalisme mathématique, réalisme ensembliste ( Kurt Gödel et Penelope Maddy),

puis, à l'opposé, des attitudes antiréalistes telles que:

-> intuitionnisme, constructivisme, prédicativisme, fictionnalisme (philosophie fictionnaliste de Hartry Field), formalisme, et enfin à l'extrémité les finitistes stricts "pour qui hors du fini, tout n'est qu'illusion".

Les mathématiques "classiques" enseignées à l'école correspondent à quel courant ?
Apprend-on toutes ces diverses conceptions mathématiques à l'université ?

Merci, amicalement.

GERARD

Bonsoir Bs.

Dans une formation mathématique classique, non. Dans un master de philosophie habituel, non plus. par contre, je pense (j'espère) que ces notions sont étudiées dans des masters d'épistémologie ou d'histoire des mathématiques.

la conception des mathématiques étudiées à l'école est strictement platonicienne : Les idées (mathématiques) existent, le monde en est une réalisation (définition, théorème, application). mais la plupart des enseignants n'en sont pas conscients (pas de formation philosophique, peu de réflexion sur les mathématiques, quasi aucune connaissance en histoire des sciences). Les autres (comme moi) ne se posent généralement pas la question au cours de leur pratique enseignante.

Pour ma part, j'aime assez la conception de Popper (les trois mondes) qui explique l'influence (réelle) des idées sur le monde concret. Mais Popper a laissé de côté la philosophie des mathématiques (peut être parce qu'il a commencé sa formation par les maths).

Cordialement

deufeufeu

La situation réelle est plus compliquée que cela, Delahaye n'est pas le plus adapté pour en parler.
Le 1er chapitre du 1er volume du Point Aveugle de Girard répond à ces questions. Au-delà du prêche pour ma chapelle je pense sincèrement que la présentation y est particulièrement claire.

christophe c

Le 1er chapitre du 1er volume du Point Aveugle de Girard répond à ces questions. Au-delà du prêche pour ma chapelle je pense sincèrement que la présentation y est particulièrement clair.

Ah bin effectivement, ça c'est du prêche à l'état pur -D

je serais toi, j'aurais plutôt dit: Bien que je prêche pour ma chapelle, je pense sincèrement...

Bien sûr, ces livres de Girard sont intéressants et très concentrés (j'ai acheté les 2)!!! Mais ce serait un peu une arnaque que de les conseiller à un lecteur amateur en logique, qui abandonnerait vite, où y lirait des contre-sens.

Et puis Girard s'exprime de manière trop autoritaire avec cette tendance à perpétuellement traiter, toutes les 5 pages, les uns et les autres "d'anes" ou "d'imbéciles" ou encore de traiter des directions de réflexions de "voie sans issue"...

Je lui souhaite de ne pas finir comme Godel, Cantor, and co, mais "tourner en rond" plus efficacement que les autres n'est pas trouver LE chemin.

Par ailleurs, la mécanique quantique, ça s'étudie sérieusement, l'analyse fonctionnelle aussi et c'est dur et ça demande des années de travail, à ne faire que ça. Je le trouve un peu prétentieux (tome2) et un peu péremptoire sur ces sujets. J'aimerais bien voir ce qu'il donnerait si on créait exprès pour lui un petit examen avec au programme le livre d'Alain Connes "géométrie non commutative" et qu'on le faisait plancher. Certes les discussions de café entre matheux permettent de faire passer plein de choses et d'apprendre plus vite une théorie par son auteur, mais je trouve (sans aucune méchanceté) qu'il se sent parfois un peu "prophète" sur les bords

Bon, mais après je me trompe peut-être, ce n'est peut-être qu'un style...

Médiat

Bonjour,

Je trouve que la liste du début mélange des choses qui ne devrait pas l'être, par exemple platonisme et formalisme sont deux façons de comprendre comment on fait des mathématiques, alors que intuitionnisme et finitisme sont deux façons de faire des mathématiques (même si ces façons sont influencées par un parti-pris épistémologique).

A la lecture d'un article, il est généralement facile de savoir si il s'agit de logique classique, ou d'intuitionnisme (cela peut (devrait ?) être annoncé dès le début), alors qu'il est difficile voire impossible de savoir si le mathématicien qui l'a écrit est platonicien ou formaliste (cela peut se sentir dans certaines expressions "en Français" mais sans influence sur le développement mathématique).



[HS]Je n'ai jamais pu dépasser 5 pages de Girard de suite, j'en trop vite marre de me faire traiter d'âne ou d'imbécile, ou de lire des arguments plus que discutable (exemple (de mémoire) : les logiques modales, c'est nul, la preuve il y en a beaucoup), ou de me sentir obligé de participer à sa glorification.

bs

Bonsoir,

Merci à tous pour vos réponses claires et référencées.

Je préfère ( = comprends mieux ) les articles que JPD consacre aux nombres, mais cet article décrivant le point de rencontre entre les mathématiques et l'informatique reste accessible.

Un extrait que je résume sur les conséquences de l'attitude antiréaliste concernant le raisonnement, par exemple le principe du tiers exclu.

Considérons l'affirmation: "Il existe une suite de cent "7" consécutifs dans la suite infinie des décimales de Pi".
Aujourd'hui (c'était en 2001), " malgré le calcul de 206 milliards de décimales par le mathématicien japonais Kanada, on n'a toujours pas découvert une telle séquence de cent "7" consécutifs dans Pi. L'intuitionniste soutient alors que nous ne pouvons pas affirmer "A ou non A".

Bonne nuit.

ccnc

Attention à ne pas confondre "intuitionnisme (sens commun, philosophique, pas vraiment défini) et "intuitionnisme (officel)" et bien méditer les remarques de Mediat à ce propos.

Concernant ton affirmation A, bs, l'intuitionniste (officiel) ne soutient pas, effectivement, que "A ou nonA", mais par contre, il soutient que "A implique A" (ce qui revient au même en logique classique), donc ce n'est pas vraiment "précis" comme différence de position

D'autant que ni l'intuitionniste, ni le classique ne considèrent " A' ou B' " comme vraie où A':="A est prouvé" et B':="(non A) est prouvé" et sont entièrement d'accord là dessus

De plus l'intuitionniste accepte et démontre "non(nonA et non(nonA))" avec ton énoncé A.

Dans ton exemple, la différence n'est pas entre intuitionniste officiel et classique, mais plutôt entre différentes sensibilités "affectives".

Les uns s'en fichent et les autres sont sensibles au fait qu'on n'ait pas de "preuve" de nonA, ni de preuve de A concernant un tel énoncé. Mais sur le plan strictement logique, il n'y a pas vraiment les différences "médiatiques" qu'on croit

Rappel: "A ou B" est l'abréviation de l'énoncé "pour tout X, si A implique X et si B implique X alors X" (ou si tu préfères au 1er ordre) "pour tout u,v, si A implique u appartient à v et si B implique u appartient à v alors u appartient à v"

Peut-être qu'avant, ça "faisait de l'effet", mais essentiellement la différence tient à ce que:

***de A--->P prouvé et de (A--->B)---->P prouvé, on a le droit en logique classique de déduire P, et pas en logique intuitionniste

On s'est longtemps demandé (il y a lgtps) je pense pourquoi on "admettait" cette bizarrerie. Mais en même tps on pouvait la prouver juste en admettant non(nonA) implique A...

Actuellement, le problème est suffisamment "résolu".

Et la log classique n'ajoute pas le "non constructif" qu'on croit (affaire d'évaluation subjective certes)!!!!

*** Comment aller à P? Et bien tu fais semblant d'avoir une clé qui t'emmène de A à B (ou un digicode, ou autre). Tu la donnes à ta preuve de (A--->B)---->P qui te garantit alors P (sous réserve que ta clé marche). Si ta preuve ne parvient pas à son "but" P, elle se plaindra forcément à un moment que tu lui as refourgué une fausse-clé: mais à ce moment-là elle sera dans la pièce A entrain de s'acharner à vouloir ouvrir la porte qui mène à B avec ta clé en plastique... De la pièce A, tu partiras sereinement vers P en utilisant ta preuve de A--->P. Ta clé n'était qu'un leurre...

C'est l'avènement du Wanted des western: pour capturer un bandit, tu lui fais un chèque sans provision de 1 million de dollars et tu attends qu'il vienne à la banque l'encaisser pour la capturer: mais pour ça, faut être au dessus de tout soupçon (par lui) et avoir pu lui faire le chèque avant. Le passage de l'intuitionniste au classique ne participe QUE de ça... Et les objets dont l'existence est prouvée classiquement existent prouvablement aussi intuitionnistiquement au prix d'une modif innofensive. On ne peut donc pas dire que l'intuitionnisme "refuse" le non constructif (à cause de la conservativité précédente)

GG

de A--->P prouvé et de (A--->B)---->P prouvé, on a le droit en logique classique de déduire P, et pas en logique intuitionniste
On s'est longtemps demandé (il y a lgtps) je pense pourquoi on "admettait" cette bizarrerie.

cc> dans les deux logiques, ¬A => (A => j'imagine. Donc ¬A => P, (A ou ¬A) => P. La classique admet A ou ¬A, donc aussi P, l'autre pas. Ca fait moins "bizarre", non ?

bs

Bonjour,

Merci cc et GG pour ces nouvelles précisions.

Amicalement.

christophe c

Ca fait moins "bizarre", non ? (appel du pied de matheux à matheux, mais..) Non, à mon avis, c'est toujours aussi bizarre.

Ok, la rhétorique transporte le problème à un autre endroit (ce qui est sympa): il n'est plus de passer de

A-->P
et
(nonA)-->P

à P, mais d'accepter (vox populiment) que (nonA)--->(A-->B)**

Or comme non(A) est une définition (mais très peu connu des matheux eux-mêmes) et veut dire "A --->tout" (en l'état actuel des standard logiques en quelque sorte):

on a le choix entre:
-accepter la pertinence de la définition des standard logiques
-prendre "(nonA)--->(A-->B)" comme axiome (sans le point précédent, ça choque le vox populi)
-décréter que A-->B est l'abréviation de (nonA) ou B (ou décréter par axiome l'équivalence)

La "bizarrerie" (mot que j'ai mal choisi) de la logique classique est robuste -D. Si on l'enlève d'un côté, il faut l'assumer de l'autre...

** t'amuseras-tu à répondre que ça vient de (A et nonA)--->P? Si oui, je gagne du temps en te retournant que ça ne fait que déplacer la bizarrerie (au niveau "faux --->X") lol

---

Plus sérieusement, à mon sens, la vraie "conquète" (le vrai progrès) est la découverte par Grifth (ou Grifin, je sais jamais) du truc que j'ai dit ensuite dans le post d'avant qui a permis "d'infoffensiviser" les preuves (comme garanties qu'un truc est certain; mise en oeuvre concrete de la garantie) utilisant le RPA

Avant, c'étaient les philosophes qui se prenaient le choux (et ils continuent, peu doivent être au courant que Griffin a "résolu" le problème)

GG

cc> je ne suis pas sûr de comprendre : si ¬A c'est A => tout, d'une preuve de A => tout, j'en tire une preuve de A => B, donc ¬A => (A => est un th de log intuitionniste, non ?

christophe c

Ouiiiiiiiiiiiiiii mais il faut "accepter" que non(A) = (A--->tout)

D'ailleurs, c'est pour ça que je réaffiche régulièrement ce slogan (la def ci-dessus), qui justement me parait le mieux à même de faire passer ensuite "(nonA) ----> (A-->B)" qui en découle "trivialement" (et qui semble généralement un problème pour la "vox populi" (et même le seul je crois))


Précision: je te répondais dans un contexte où on s'imagine devant la vox populi entrain d'essayer de lui faire admettre tous les axiomes (ou inférence) logique dont les maths se servent

christophe c

Pour compléter le tableau: je te répondais (entre autre dans les posts d'avant)) qu'une fois qu'on a admis que:

nonA = (A-->tout)

on "perd" l'évidence de:

nonA ou A


qui devient

(A --->tout) ou A

christophe c

Imagine-toi dans un chateau hanté:

"si je peux pas aller à la pièce A, alors je dispose de toutes les clés qui ouvrent chaque porte séparant A d'un autre pièce"

GG

mais il faut "accepter" que non(A) = (A--->tout)

ou que, ayant démontré A et démontré ¬A, on admette n'importe quoi. Mais ça, c'est valable aussi bien en log classique qu'en intuitionniste, et ce n'est pas choquant. Donc on en revient au point de départ : ce qui est bizarre (au sens "démontrable en log classique mais pas en log intuitionniste"), c'est le tiers exclus qui concentre la bizarrerie , non ? ou alors je ne saisis pas bien ton argument.

christophe c

Voici peut-être le théorème qui me semble le plus spectaculaire de maths sans logique, qui fait bouffer du raisonnement par l'absurde:

Dans un anneau quelconque, soit J un idéal.

l'intersection des idéaux premiers qui contiennent J ne contient que des éléments t tel qu'il existe un entier n avec t^n dans J. Autrement dit si tu quotientes par cette intersection les seuls éléments qui deviennent nuls sont les nilpotents

Un idéal premier est un idéal qui contient a ou b dès qu'il contient ab (pour tout a,b)

Sans ce passage à un "n" incontrolable, le tiers-exclus ne changerait pas grand chose (ie la log class et intui seraient à peu près équivalentes)

En termes logiques, [(A--->tout)--->tout]---->A est "presque" un axiome intuitionniste

(2) C'est marié avec [A--->(A--->B)]--->(A--->B) qu'il donne du jus.

Et t'es obligé d'utiliser (2) si tu veux obtenir que ton argument "marche".

Je te mets au défi de ne pas "cloner" une hypothèse pour prouver

P

en supposant A--->P
et (A--->B)--->P

ainsi que ((A--->tout) ---P )--->((A--->P)--->P) (autrement dit tu as le droit au "RPA")

deufeufeu

je pense surtout qu'il faut se garder de considérer comme non-bizarre la logique intuitionniste.
Ce qui n'est pas bizarre c'est la logique minimale où l'on encode la négation par $A \rightarrow C$ pour une formule distingué $C$. On comprend bien que si $C$ correspond à un problème alors le fait que $A$ soit faux peut être vu comme le fait que de $A$ on puisse arriver au problème $C$, et si à côté on a effectivement $A$ avec le modus ponens on récupère $C$. Ce qui est bizarre c'est de penser qu'il existe un $C$ totalisateur $\bot$ de sorte que dès que l'on ai $\bot$ on puisse déduire n'importe quoi.

christophe c

A bin j'avais répondu sans voir ton post -D

Bin comme je te disais, pas seulement le tiers-exclus mais l'axiome
[A--->(A--->B)]--->(A--->B)

qui a l'air de rien mais qui permet à une pensée "fondamentalement intuitionniste" (qui veut de la garantie de chez garantie) de déduire la "vraie" logique classique du simple "tiers exclus"

christophe c

"totalisateur": oui, d'où l'utilité de l'appeler "tout", comme ça on est moins surpris.

tout ----> A

est plus facile à avaler que

faux---->A

christophe c

GG: comme je vois que tu as fait le bilan jusqu'au "clone", je te reprends le défi dans un post seul

Une fois que tu as (A--->B) --->P (1)

ainsi que A--->P (2)

tu peux utiliser le fait que (nonA) ---->(A---B)

pour en déduire que (nonA)--->P (5)

(lol tu as "consommé" ta garantie (1))

Maintenant tu voudrais P. de (nonA) --->P tu déduis (nonP) --->non(nonA)

avec nonnonA--->A, tu obtiens avec (2) (nonP)--->P


Jusque là tout va bien


MAIS: Tu as bien (P-->tout)--->P, et facilement (P-->tout)--->((P-->tout)--->tout) (3)

car P--->(P-->tout)--->tout

Hélas, il te faut maintenant considérer que de (3) tu peux passer à (P-->tout)--->tout (ensuite par le RPA, tu as P)

ok, tu me diras peut-être que de (2) et (5) tu peux déduire P

En fait non, "d'une certaine façon" tu ne peux que déduire "P ou P" (concrêtement, si un avion s'écroule dont le moteur était construit à la suite d'une preuve de maths, et qu'on rechercher vraiment, mais vraiment vraiment la défaillance, ce genre de point apparaitrait (il faudrait faire des photocopies de garanties, les vérifier dans des contextes précis, une même garantie opérant dans plusieurs contextes, etc)

deufeufeu

oui d'ailleurs le second ordre aide bien à comprendre $\bot = \forall X. X$

christophe c

Pour revenir à l'anneau:

imagine que les phrases soient des éléments de l'anneau et que les seules choses qu'on sache sont (les choses "prouvées" sont dans un idéal J, le produit voulant dire "ou"):

que A fois (A-->B) soit dans J

que A-->B est un multiple de B (modulo J) (ce qui garantit que si B est dans J, a--->B y est aussi)

que B est dans l'idéal engendré par J+(A)+(A--->B) (comme ça, ya du modus ponens)

Et bien les théorèmes sont tous dans J..; EUH NON: ils ont tous UNE PUISSANCE dans J

christophe c

Merci Deufeufeu:

Deufeufeu en tant que spécialiste "confirme" la définition de "faux"

Et nonA est par définition: $\forall X: A\to X$

deufeufeu

euh tu te moques de moi en étant ironique ? en tout cas je suis loin d'être un spécialiste...

GG

ok, tu me diras peut-être que de (2) et (5) tu peux déduire P

Non, je te dirais plutôt que de A => P (2) et ¬A = P (5), j'en déduis (A ou ¬A) => P et je n'irai pas plus loin. (D'une preuve de A ou ¬A, c'est-à-dire d'une preuve de A ou d'une preuve de ¬A, j'en déduis soit une preuve de P, soit une preuve de P, donc une preuve de P. Mais peut-être n'ai-je pas le droit ?)

ccnc

Pardon, j'étais parti diner hier:

à Deufeufeu: non, je ne me moquais pas du tout. J'utilisais un argument "d'autorité" (nous étions 2 logiciens à re marteler que "faux=tout")

à GG: oui, pardon, et bien je voulais te répondre que "non" en quelque sorte.

de 2 et 5, en toute déontologie scientifique "hypersceptique", tu ne peux déduire que:

(A ou nonA) implique (P ou P)

C'est le passage de "P ou P" à P qui est "problématique" (enfin, façon de parler)...

GG

(P ou P) => P n'est pas un th de log intuitionniste ?

christophe c

Si, bien sûr!! Mais attends, j'ai l'impression que j'ai dévié de thème sans te prévenir clairement.

Je résume:

d'abord je disais que les différentes règles du RPA de la logique classique (qui la différencie de la log int) ont un supplément de "bizarrerie"

J'ai cité un exemple d'inférence (le premier post auquel tu as répondu)

Ensuite tu as essayé d'enlever la bizarrerie en la "justifiant" par le tiers exclus

Je t'ai répondu que le tiers exclus reste bizarre si on admettait que faux entraine tout ce qu'on veut, et si on ne l'admet pas, ta justification ne marche plus

Tu m'as dit que ceci est admis par la log int (oui c'est vrai) donc le tiers exclus RESTE bizarre en ce qu'il affirme que (A implique tout) ou A

Puis ensuite j'ai dévié sur les progrès plus récents, sans discuter de savoir ce que les log int ou class ou autre admettent ou non, car j'ai voulu insister sur d'autres points.

Je voulais aller dans chacun des recoins de ton intuition instinctive


En résumé:

-stricto sensu, le tiers exclus n'est pas bizarre quand il énonce A ou nonA, mais le devient quand on donne le sens (A implique tout) à nonA.

-(***)Dans un deuxième temps, je "t'informais" qu'il a été découvert récemment qu'en fait MEME en admettant que nonA veut dire A-->tout et le tiers exclus, stricto sensu (mais rien d'autre!!) ce n'est pas "bizarre".

(*****)En effet, là, pour le coup, autant la log class que la log int admettent toutes 2 un axiome qui n'a l'air de rien et est réellement le plus bizarre (celui que j'ai appelé le cloneur)

qui dit que si en utilisant 2 fois une même hypothèse A tu peux prouver P, tu as le droit d'en inférer que tu as prouvé P.

Mes derniers posts visait à t'inviter à réfléchir vraiment la-dessus, ie le fait qu'au fond on pouvait facilement voir comme non bizarre les 2 axiomes de (***), mais à condition de "renoncer" à (*****)

Le "P ou P" implique P est, en un certain sens, une utilisation du cloneur:

très honnêtement cela consiste à se donner le droit d'inférer de nonP --->(nonP --->tout)

l'affirmation nonP ---> tout

ie de cloner l'hypothèse nonP.

Je ferai des recherches, je crois que j'ai déjà expliqué tout ça dans des posts détaillés ici même et sinon je détaillerai

Je te reprécise pourquoi (***) (sans rien d'autre) n'est pas bizarre (ie peut êre admis par un esprit sincèrement intuitionniste dans l'âme (je ne parle pas d'axiomatique officielle)

Si avec le cadeau nonP tu peux déduire tout, SANS JAMAIS CLONER DE RESSOURCES, D'HYPTOHESE etc tu auras ta preuve de P sans réel problème: En effet, tu suis la "garantie" de "tout" (autrement dit qui t'emmène au paradis) dans les méandres de la preuve (en lui donnant une fausse clé qui ouvre la porte de P à tout (hypothèse nonP) jusqu'à ce qu'elle se heurte à la dite porte sans pouvoir l'ouvrir. A ce moment tu es arrivé dans P.

Si tu pouvais cloner la clé, ta preuve devient délocalisée et suivre ses méandres te nécessite de te dédoubler en moult exemplaires. De plus tes clones de clés en rencontrent d'autres etc. Ainsi, quand ta preuve chiale qu'elle vient de se heuter à une porte qu'elle ne peut ouvrir (parce que ce sont de fausses clés qui ont été clonées) certes tu as l'impression d'être arrivé dans P, mais hélas, c'est seulement sous réserve que toutes les clés clonées soient valables (autrement tu te trouves avoir conquis "des (nonP + nonP + nonP )--->P" et non pas avoir conquis P.

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Pour te le dire de manière plus concise: si tu utilises le tiers exclus de (***) mais si tu t'astreins à ne jamais cloner d'hypothèses (tu ne peux utiliser chacune qu'une seule fois) ce que tu démontreras sera démontrable (à très peu de choses près) en log intuitionniste. Essaye ty verras. Poste des preuves où tu joues à ce jeu, tu verras, pas de résultats profondément obtensible que par l'absurde

christophe c

Un exemple très simple:
(c'est le fameux paradoxe qui a provoqué la crise des fondements*)

Suppose A-->(A--->B) et (A--->B)--->A

Et essaye de prouver B
tu verras tu seras obligé de "cloner" des hypothèses...


* avec B:=tout, c'est la problématique de la phrase qui dit "je suis fausse"

christophe c

Je te repropose une vision "algébrique":

Imagine qu'on représente les "risques scientifiques" par un anneau A (où 0 veut dire aucun risque)

Les "paris" (qui sont des affirmations) sont des énoncés et leur valeur correspond à des éléments de l'anneau

Tu prends J que tu considères comme l'ensemble des "risques" acceptés. Cad dès "qu'on n'est pas sûr", le risque n'est pas dans J

le "ou" est réprésenté par le produit (on s'intéresse à des "petits" risques)

le fait de mettre A×(nonA) dans J est le tiers-exclus

Typiquement, les preuves consistent à relier des choses en montrant que les uns sont multiples des autres.

Si tu prouves A --- >P, tu trouves concrêtement un élément de A tel que P=u×A
Si tu prouves nonA ---->P tu trouves concrêtement un élément de A tel que P=v×nonA

Mais c'est seulement P² qui est un multiple de A×nonA, et non pas P, à priori.

Le "clonage" des garanties s'exprime par le fait que J est radical (ie s'il contient une puissance de x, il contient x)

GG

ok, merci cc. Je relirai tes explications à tête reposée. J'avais compris la "bizarrerie" à l'envers. Je pensais que ce qui était bizarre, c'était que de A => P et (A => => P, on ne puisse déduire P dans la log intuit. (ce qui m'apparaissait moins bizarre dès lors qu'on pouvait déduire (A ou ¬A) => P, mais pas plus), alors que pour toi, si j'ai bien compris, ce qui est bizarre c'est qu'on puisse le déduire dans la logique classique