isométrie

kappa

bonjour

voilà les questions

1) soit f(x)=Ax+b est une isométrie affine sur l'espace affine X, soit g(x)=Ax, (e1,e2,e3) une base orthonormée de X tel que (e1,e2) soit la base orthonormée de
E={x appartient à X, f(x)=x } , on a de plus g(e1)=e1 , g(e2)=e2
a-t-on bien g(e3)=e3 si oui comment le démontrer t comment calculerait on les vecteurs e1,e2,e3?

2) Deuxièmement, soit P ayant pour coordonnées (y1,y2,y3) dans le repère (O,e1,e2,e3) après un changement de repère (O',e1,e2,e3)
P a pour coordonnées (z1,z2,z3) je le note P', on voudrait trouver les coordonnées de Q=f(P'), je me dis qu'il suffirait de remplacer dans f pour avoir ses coordonnées dans (O',e1,e2,e3) puis ensuite de considérer le vecteur OO' pour obtenir les coordonnées dans (O,e1,e2,e3) ai-je raison ?

merci d'avance

ev

Bonsoir kappa.

Il y a beaucoup de sous-entendus dans ton énoncé. Tu mélanges joyeusement l'affine et le vectoriel ce qui fiche une grosse pagaïe.
Je passe sur LA base orthonormée de E, et je ne vois pas pourquoi tu n'aurais pas $g(e_3)=-e_3$, soit une bonne grosse symétrie orthogonale par rapport à un plan (pour $g$).
Que se passerait-il si tu avais $g(e_3)=e_3$~?

e.v.

pappus

Mon cher Kappa
Je vais essayer de reconstituer ton énoncé compte tenu de ce que tu suggères:
1° $X$ est un espace affine.
2° $X$ admet une base orthonormée $(\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{e_3})$.
Donc $X$ est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 muni de sa structure affine naturelle.
Autrement dit les "points" de l'espace affine $X$ sont aussi ses vecteurs!
Je commence à avoir mal à la tête!
3° L'application $\{f: X \longmapsto X; x \mapsto Ax + b$ est une isométrie de $X$.
Donc $A: X \longmapsto X$ est une isométrie vectorielle de $X$ c'est à dire un isomorphisme linéaire de $X$ qui conserve son produit scalaire et $b$ est un vecteur de $X $.
$A$ est ce qu'on appelle la partie linéaire de $f$.
4° $E = \{x \in X; f(x) = x\}$ est l'ensemble des points fixes de $X$.
Tu dis que $(\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2})$ est une base orthonormée de $E$. En bon français, cela veut dire que $E$ est un sous espace vectoriel de $X$ de dimension 2. $E$ contient le vecteur nul, ce qui entraine $b = 0$.
D'ailleurs $f(\overrightarrow{e_1}) = \overrightarrow{e_1} = A.\overrightarrow{e_1} + b = g(\overrightarrow{e_1} ) + b = \overrightarrow{e_1} + b$ donc $b= 0$.
5° On a donc $f = A$.
$f$ est une isométrie vectorielle qui admet un plan $E$ de vecteurs fixes.
D'après le cours, on sait que la droite vectorielle $D = \mathbb R \overrightarrow{e_3}$ orthogonale à $E$ est stable par $f$.
$f$ induit donc sur $D$ une isométrie vectorielle.
Je te laisse maintenant conclure!
Amicalement
Pappus