Caractéristique d'une ellipse donnée par un arc

Bonjour,
je cherche à déterminer les éléments caractéristiques (surtout l'excentricité) d'une conique dont on connais trois points et deux tangentes (en fait, deux points, deux tangentes et un poids, l'arc est un arc de Bézier rationnel quadratique sous forme standard).

J'ai fait un pdf pour expliquer le problème.

Merci d'avance à toute personne qui aura une idée et il parait qu'il y a quelqu'un de pointu sur le forum :).

Lionel

Réponses

  • Merci, ça devrait marcher, je me penche sur le quadrangle.

    Je voulais éviter la réduction de la forme quadratique. Le but est de faire une construction "fractale" de l'ellipse.

    En fait, en partant du modèle polynomiale, on a une courbe de Bézier qui représente un arc de parabole.
    Les extrémités sont les points $P_0$ et $P_2$, le point $P_1$ dirige les deux tangentes.

    Pour obtenir les autres coniques, on passe dans le plan projectif, en fonction des représentants choisis, on obtient des points de contrôle pondérés $(P_0,w_0)$, $(P_1,w_1)$ et $(P_2,w_2)$.
    La courbe de Bézier représente un arc de conique, les incidences sont conservées.

    Un modèle très intéressant est la courbe sous forme standard $w_0=w_2=1$, puisque la valeur de $w$ permet d'avoir le type de la conique :
    $0<|w |<1$ implique un arc d'ellipse,
    $|w|=1$, implique un arc de parabole,
    $|w|>1$, implique un arc d'hyperbole.

    Par exemple, si tu prends $P_0=(1;0)$, $P_1=(1;1)$, $P_2=(0;1)$ et $w=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tu as le petit arc de cercle. Si tu prends $w=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, tu as le grand arc de cercle.

    Pour plus de détails, tu peux aller sur www.le2i.com
    puis membre (à gauche)
    puis Synthèse d'images et modélisation géométrique (en haut)
    puis Garnier Lionel
    et tu peux télécharger quelques articles :

    "Dupin Cyclide Blends Between Quadric Surfaces for Shape Modeling",
    "Conversion of Quadrics into Rational Biquadratic Bézier Patches",
    "Conversion de cyclides de Dupin en carreaux de Bézier Rationnels Biquadriques",

    tu as aussi ma thèse :
    sur www.le2i.com
    puis thèse à télécharger
    puis choisir 2004
    puis Utilisation des cyclides de Dupin et des supercyclides en modélisation géométrique

    Si tu es très curieux, tu as aussi quelques livres :
    le mien
    Mathématiques pour la modélisation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d'images (que tu as sur le site du Le2i parmis mes articles),
    http://www.editions-ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=5966

    celui de Demengel Gilbert, Pouget Jean-Pierre
    Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS - Mathématiques des courbes et des surfaces
    http://www.editions-ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=1080

    et deux livres définissant les vecteurs massiques en géométrie projective (il est possible de mélanger points et vecteur) et la modélisation d'un demi-cercle est alors possible :
    # J.-C. Fiorot, P. Jeannin, Courbes et Surfaces Rationnelles, Applications à la CAO, RMA 12, Masson (1989). Version anglaise chez Wiley and Sons (1992).
    # J.-C. Fiorot, P. Jeannin, Courbes Splines Rationnelles, Applications à la CAO, RMA 24, Masson (1992).
  • C'est remoi,
    peux-tu, STP, me donner la référence du livre dans lequel tu as trouvé la figure.

    Merci.

    Lionel
  • Mon cher Lionel
    Merci pour tes indications.
    Je te lirai avec grand plaisir!
    Euh, cette figure était dans mes neurones!
    Amicalement
    Pappus
  • Je me permets d'abuser ;), car dans mon problème, je ne connais pas les point $F$ et $F'$, je connais $A$, $A'$ et $O$.
    Je sais que $O$ est le milieu du segment $\left [ F F' \right ]$.

    En passant en complexe, j'ai posé et résolu l'équation sans problème.

    Est-il possible de construire $F$ et $F'$ de façon géométrique ?

    Ce qui est cool, c'est qu'il est possible de déterminer le second axe facilement puisque le centre du cercle passant par les points $F$, $F'$, $A$ et $A'$ est sur l'axe non focal X:-(

    Lionel

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Si j'ai bien compris, en utilisant les notations de ma figure, tu connais les points $A$, $U$, $V$, $O$.
    Tu construis le point $A'$ comme seconde intersection de la symédiane avec le cercle circonscrit au triangle $AVW$.
    Ensuite, tu construis la bissectrice $\delta$ de l'angle $\widehat{AOA'}$ puis sa perpendiculaire $L$ en $O$.
    Tu prends le symétrique $A"$ de $A'$ par rapport à $L$.
    Tu traces le cercle $AA'A"$.
    La bissectrice $\delta$ recoupe ce dernier cercle, tracé sur ma figure, aux points $F$ et $F'$.
    Pour des raisons esthétiques, je n'avais pas effectué cette construction sur ma figure, pensant qu'elle était bien connue.
    Amicalement
    Pappus
    11609
  • Merci beaucoup. :)-D

    Lionel
  • C'est trop bien, ça marche aussi pour l'hyperbole. X:-(

    Par contre, ca ne marche pas pour la parabole , c'est normal, je ne peux pas avoir le centre 8-)

    Je me suis amusé avec kig et :
    - la médiane du triangle est parallèle à l'axe de la parabole. C'est normal, en prenant $\omega=-1$, en a encore l'alignement de $N_3$, $I_1$ $P_1$, mais $N_3$ est un vecteur (dans le complèté projectif du plan affine) et c'est le point à l'infini de la droite $\left ( I_1 P_1 \right )$.
    - la symédiane passe par le foyer. C'est moins trivial.

    Lionel
  • A priori, je vais avoir une référence dans le livre de Lebossé et Hemery.

    Concernant les faisceaux de coniques et les modèles de Bézier, il y a la thèse de J-P Bécar :

    http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00371549/fr/

    Lionel
  • Je me creuse encore les méninges : je dois construire la tangente, dont je connais la direction, à une conique à centre.
    J'ai fait un algorithme en utilisant les cercles directeurs, mais j'ai un petit problème : j'ai 2 fois 2 points d'intersections, mais seulement deux couples conviennent. Existe-t-il un critère simple pour éliminer {\bf a priori} (a posteriori, c'est facile) les couples qui ne marchent pas ?

    Peut-on faire une démonstration commune concernent l'alignement des points $O$, centre de la conique, $P_1$ (intersection des tangentes à la conique en $P_0$ et $P_1$), $I_1$ (milieu du segment $\left [ P_0 P_2 \right]$) et de $N_3$.

    j'ai bourriné dans le cas de l'ellipse en prenant une affinité transformant l'ellipse en cercle principal.

    J'ai mis un pdf avec plein de figure en P.J.

    Merci d'avance à toute personne qui m'apportera ses lumières.

    Lionel
  • Mon cher Lionel
    Pour ta construction des points d'une conique affine $\Gamma$ de centre $O$ dont la tangente est parallèle à une direction donnée $L$, tu ne dis pas clairement comment ta conique est donnée au départ.
    Est elle donnée par une équation ou bien comme il le semblerait par foyers et cercles directeurs?
    Utilises tu un quelconque logiciel, tout cela n'est pas très clair?
    Quant aux points en question, ils sont les extrémités du diamètre conjugué de la direction $L$.
    Ce diamètre doit se construire facilement et on a plus qu'à prendre ses intersections avec $\Gamma$.
    Si $\Gamma$ est une hyperbole, ces points ne sont pas toujours réels.
    Amicalement
    Pappus
  • Salut Pappus,
    initialement, ma conique est donnée par 3 points pondérés $\left ( P_0; 1\right) $, $\left ( P_1; \omega \right) $ et $\left ( P_2; 1\right) $ avec $\omega \neq 0$.
    Si $\omega=1$, j'ai une courbe polynômiale et un arc de parabole.
    Si $\omega=-1$, j'ai un arc de parabole (le complémentaire du précédent) et pout $t=\frac{1}{2}$, j'obtiens un vecteur (point de l'infini) qui donne la direction asymptotique de la parabole.
    Si $0<|\omega|<1$, j'obtiens un arc d'ellipse (le petit arc si le poids et positif, le grand sinon).
    Si $\omega >1$, j'obtiens un arc d'hyperbole compris dans le polygone $P_0P_1P_2$.
    Si $\omega<-1$, j'obtiens l'autre partie de l'hyperbole (et deux points à l'infini qui sont les directions des deux asymptotes).

    Le premier travail consiste à déterminer (on connait le type de la conique en fonction de $\omega$) le ou les foyer(s) et le nombre $a$ dans le cas d'une conique à centre.

    Le but est de tracer des points de la conique et les tangentes en ces points sans tracer la conique, soit par une méthode fractale (pour le cercle, je remplace un triangle isocèle par deux triangles isocèles), soit par subdivision. Dans les deux cas, on approxime la conique par un polygone (on fait toujours cela quand on affiche à l'écran) et cette dernière est la courbe limite de la famille des polygones.


    Quant au logiciel, à terme, c'est du C++ et de l'openGL. Par contre, pour le travail de modélisation, c'est kig (logiciel de géométrie dynamique sous kde qui est un environnement graphique X-windows sous linux) car il est possible d'exporter la construction en latex sous forme pstricks : c'est trop génial.


    Cordialement,

    Lionel
  • Mon cher Lionel
    En définitive, ta conique $\Gamma$ n'est elle pas donnée par la connaissance d'un point $A$ et de sa tangente $T_A$, d'un point $B$ et de sa tangente $T_B$ et d'un troisième point $C$?
    Tu cherches alors la construction d'un point courant $M$ de $\Gamma$ et de sa tangente $T_M$!
    Amicalement
    Pappus
    11684
  • Bonjour, je vous prie de m'excuser pour le dérangement, mais je souhaite connaître le nom du programme avec lequel vous dessinez les figures ci-dessus. J'ai entendu parler qu'il existait bien des programmes de trigonométrie assez puissants, mais je ne sais pas vers lequel m'orienter.
    Vos suggestions seront les bienvenues.
    Merci d'avance.
  • Pour ma part, j'utilise kig (sous kde-linux) qui permet d'exporter en latex.

    Il y a aussi texgraph qui est bien.

    Lionel
  • Merci beaucoup.
  • Bonjour je suis étudiante et j'ai un projet sur les caractéristiques d'une conique.
    Je dois écrire un programme en maple qui permet de récupérer les caractéristiques d'une conique via son équation p(x,y)=0.
    Si quelqu'un peut m'aider ce serait trop génial !!!
    Merci
  • Soit $Ax^2 +2Bxy+Cy^2 +2Dx+2Ey+F = 0$ l'équation d'une conique $\Gamma$ dans un repère orthonormé.
    L'excentricité $e$ de $\Gamma$ est donnée par la formule suivante:
    $\dfrac{1-e^2}{e^4} = \dfrac{AC-B^2}{(A-C)^2+4B^2}$.
    On a évidemment supposé que $\Gamma$ n'était pas un cercle!
    Amicalement
    Pappus
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