RH : un nouvel ouvrage

borde

Bonjour,

Je souhaite signaler à tous ceux que cela peut intéresser la publication du livre suivant chez Springer sur l'hypothèse de Riemann :

{\bf P. Borwein, S. Choi, B. Rooney \& A. Weirathmueller}, {\it The Riemann hypothesis : a resource for the afficionado and virtuoso alike}, CMS books in mathematics, Spinger (2008).


Il est construit en deux parties : la première où les auteurs rappellent les tenants et aboutissants de HR, et une seconde partie dans laquelle près de 25 articles de recherches de quelques spécialistes du sujet sont reproduits, dont les fameux papiers d'Erdös et Selberg de 1949 sur la première preuve entièrement élémentaire du TNP.


Borde.

Sylvain

Merci Olivier pour cette information de premier choix (comme toujours). Tu as une idée du prix ?

Sylvain

Bon, sur le site de Springer, il apparaît à 66,41€. C'est la ruine les maths !:D

borde

Salut Sylvain,

sur Amazon, c'est à peine mieux :

\lien{http://www.amazon.fr/Riemann-Hypothesis-Resource-Afficionado-Virtuoso/dp/0387721258/ref=sr_1_1?ie=UTF8\&{}s=english-books\&{}qid=1237640729\&{}sr=8-1}

Ceci dit, tu as peut-être les options suivantes :

(i) La moins chère, mais pas nécessairement la plus pratique : l'emprunter en BU.

(ii) Attendre les "Yellow sales".

(iii) Le consulter en partie sur Google Scholar.


A noter dedans un article intéressant d'Ivic (2003) : {\it On some reasons for doubting the Riemann hypothesis}, dans lequel l'auteur (spécialiste) décrit plusieurs phénomènes qui pourraient infirmer HR. Rappelons qu'un certain nombre de chercheurs célèbres pensent qu'HR est fausse (Turan, Littlewood par exemple).

Parmi les exemples cités, le {\it phénomène de Lehmer} est plutôt troublant : il suffirait que l'on découvre que la fonction $Z$ d'Hardy ait un maximum local positif ou un minimum local négatif assez loin sur l'axe des abscisses pour infirmer HR...


A lire et à méditer !


Borde.

jobherzt

J'en profite pour poser une question sans doute naïve, mais comme je n'y connais pas grand chose : Connait ton deja des "interpretations" du ou des premiers zeros de zeta qui ne serait pas sur la droite critique (s'il en existe, evidemment..) ? Est ce qu'ils auraient une "signification" precise ? Et plus generalement, y a t il des resultats "positifs" qui decouleraient de la fausseté de RH ? J'imagine que ca ne serait pas juste une deception, meme pour Sylvain

Eric Chopin

Borde, pas mal d'eau a coulé sous les ponts depuis le papier d'Ivic,
et les simulations numériques plus récentes ne vont pas vraiment
dans le sens d'une infirmation de RH me semble-t-il ...

eric

borde

Je te trouve un peu dur, Eric, et, pour une fois, je ne suis pas complètement d'accord avec toi : en matière d'infirmation / confirmation de HR, on n'a pas réellement progressé depuis 5 ans.

Le phénomène de Lehmer, qui n'est qu'un exemple parmi tant d'autres, est toujours d'actualité sauf erreur de ma part.

D'autre part, de gros efforts ont été fournis sur des estimations de valeurs moyennes de $\zeta(1/2+it)$, au moins pour voir s'il n'y aurait pas là une possibilité d'infimer l'hypothèse de Lindelöf (et donc d'infirmer HR par la même occasion).

Non, décidément, je trouve cet article plus que jamais d'actualité.

Salut Jobherzt,

Si HR était fausse, la distribution des nombres premiers présenterait d'étranges irrégularités. Le premier zéro non trivial ne se situant pas sur la "droite critique" aurait effectivement une interprétation importante.


Borde.

gilles benson

pour les yellow sales c'est cuit pour cette année...

olib

Moi aussi, je viens poser ma question "naive" de non-spécialiste:

Qu'est-ce qui empêche de se servir du th de Riemann prouvé par Deligne sur les fonctions zétas locales? De quelle nature est l'obstruction? La question m'est venue en lisant le fil de Sylvain sur le principe de Hasse.
Je sais que C. Denninger effectue des recherches dans ce sens mais je suis loin de comprendre ce sujet.

Eric Chopin

Salut Olib,

De quel theoreme parles tu exactement? Car la preuve de l'hypothese de Riemann
locale est due a Weil pour les corps de fonctions de caracteristique
non nulle, Daniel Bump pour le cas reel (archimedien), son thesard Par Kurlberg
pour le cas non archimedien (et qui a mon sens comporte une petite erreur
qui en limite la validité)...
De plus le principe de Hasse est comme son nom l'indique, un principe ;-)
Ca veut dire qu'il ne correspond pas a un théoreme bien précis, et pour
cause on sait qu'on peut mettre ce principe en defaut...
Neanmoins, mais c'est un avis très subjectif de ma part (encore
que de moins en moins subjectif...), le principe de Hasse devrait
plutot bien fonctionner dans le cas de RH. Ca n'est evidemment pas si simple,
et pour l'illustrer, si le cas local correspondait simplement au fait
de prouver que $\Gamma(s/2)$ ou $1/(1-p^{-s})$ ne s'annulent pas
en dehors de la droite critique, pas besoin d'avoir fait de grandes
etudes pour prouver ca...

A+

eric
ps1: si tu as des ref concernant Denniger ca m'interesse (je n'ai rien
trouvé sur le web)
ps2: pour borde: la zeta grid a fonctionné jusqu'en 2005 et n'a rien
trouvé jusqu'a $|Im(s)| < 29 10^9$

olib

Salut Eric,

Je parlais de la conjecture de Weil sur la fonction Zéta d'une variété algébrique démontrée par Deligne. En fait, je ne sais pas ce que les gens ont pour coutume d'appeler classiquement RH dans le cas des corps finis. Merci pour l'explication concernant le principe de Hasse.
A vrai dire, ce qui m'intéressait surtout c'est la possibilité de remonter à la conjecture de Riemann classique dans $\C$. je me demandais la nature de la différence et de la possible similitude entre les deux résultats, celui démontré dans le cadre des corps finis et la conjecture célèbre.

Pour Deninger (avec un n, j'ai fait une faute) :


{\bf [De92]} C. Deninger, {\it Local L-factors of motives and regularized determinants}, Inv. Math. 107 (1992), pp. 135-150.
{\bf [De94]} C. Deninger, Motivic {\it L-functions and regularized determinants}, Proc. Symp. Pure Math. 55, 1 (1994), pp. 707-743.
{\bf [De98]} C. Deninger, {\it Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces}, Doc. Math. J. DMV. Extra volume ICM I, (1998), pp. 23-46.
{\bf [De99]} C. Deninger, {\it On dynamical systems and their possible significance for Arithmetic Geometry},
In : A. Reznikov, N. Schappacher (eds.), Regulators in Analysis, Geometry and Number Theory. Progress in Mathematics 171, (1999), Birkhauser, pp. 29-87 (aussi disponible sur le web).
{\bf [De01]} C. Deninger, {\it Number theory and dynamical systems on foliated spaces}, arXiv : math.NT/0204110 et Jahresberichte der DMV. 103, (2001), No 3, pages 79-100.
{\bf [De02]} C. Deninger, {\it On the nature of the ”explicit formulas” in analytic number theory - a simple example}, arXiv : math.NT/0204194 et Number theoretic methods (Iizuka, 2001), Dev. Math., 8, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, (2002), pages 97-118.
{\bf [DeS00]} C. Deninger et W. Singhof, {\it A note on dynamical trace formulas, Dynamical, spectral and arithmetic zeta functions} (San Antonio, TX, 1999), Contemp. Math., 290, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2001), pp. 41-55.

Sylvain

Pendant qu'on est dans le sujet, je me permets de lancer quelques pistes de réflexion...Si on fait le rapprochement entre les fonctions primitives de la classe de Selberg et les nombres premiers (idée qui m'est chère), se pourrait-il d'une part, qu'il y ait une sorte de fonction primitive correspondant à $p$ infini et d'autre part, qu'on puisse construire un objet prenant en compte toutes ces fonctions primitives comme l'anneau des adèles rationnelles (d'ailleurs, c'est "un" ou "une" adèle ?) prend en compte l'ensemble des complétions de $\mathbb{Q}$ ? Si oui, à quoi pourrait ressembler un tel objet ? Faut-il fouiller du côté des catégories pour le définir ? Enfin, y a-t-il un lien entre le principe de Hasse et la propriété de factorisation unique de certains anneaux de nombres algébriques et de la classe de Selberg ? Je pense en effet, à tort ou à raison, qu'il y a peut-être moyen de faire un parallèle entre l'obstruction au principe de Hasse et l'obstruction à la factorisation unique.

Eric Chopin

Ok merci olib pour ces refs.

RH au niveau local s'énonce comme suit:
Si $f$, fonction définie sur un lagrangien d'un espace symplectique E, est isotopique sous l'action de la représentation de Weil restreinte a un sous-groupe maximal compact du groupe symplectique, c-a-d $We(\sigma)(f) = \lambda(\sigma)f$
où $\lambda$ est un caractère, alors la transformée de Mellin de $f$ ne s'annule dans la bande critique que sur la droite critique.

Un résultat intéressant serait d'avoir une preuve de ça, qui serait valable aussi bien dans le cas archimédien que non-archimédien, car pour l'instant les preuves de Bump et Kurlberg sont très différentes.

a+
eric

Gabriel de Tarragon

Et aujourd'hui numériquement, on a vérifié l'hypothèse jusqu'à quelle hauteur ?
Au fait, y a-t-il des livres en français sur le sujet ? (A un niveau accessible ...)