matrice auto-adjointe

brux

Bonjour,

soit $A$ une matrice symétrique à coefficients réels de dimension $n$.

Je munis $\mathbb{C}^n$ du produit scalaire usuel et de la norme euclidienne associée.
Je note $B_1$ la boule unité de $\mathbb{C}^n$ et $B_2$ la boule unité de $\mathbb{R}^n$.

Je souhaite prouver que $$\max_{x\in B_1} \langle Ax,x\rangle = \max_{x\in B_2} \langle Ax,x\rangle\quad,$$
sans passer par des arguments de diagonalisation.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci d'avance.
Bruno

Liautard

Bonjour


Écrire pour tout Z de C^n:

Z=X+iY ou X,Y sont dans R^n


Cordialement

brux

Merci. On a avec ces notations, si je ne m'abuse,

$$\langle A Z,Z\rangle= \langle A X,X\rangle+\langle A Y,Y\rangle.$$

ça donne bien une majoration mais trop faible.

Liautard

Si non note M le sup de (U,AU) pour|U|=1 et U dans R^n

Comme X^2+Y^2=1

(X,AX)+(Y,AY)<=M

brux

bon sang, quel âne je fais, j'ai oublié de considérer les normes de X et Y...

Merci beaucoup Liautard.

jpdx

$A\in\mathcal{M}_n(\R)$ est symétrique. Donc il existe $P\in\mathrm{O}_n(\R)$ et $\lambda_i\in\R$ tels que $$P^{-1}AP=D=\mathrm{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$$
On a donc
$$<Dy,y>=<P^{-1}APy,y>=<APy,Py>=<Ax,x>\quad\mathrm{o\grave{u}}\ y=Px$$
Mais $||y||=||x||$.
Donc pour chacune des boules $B_i$ on a
$$\max <Ax,x>=\max <Dy,y>=\max\sum_{i=1}^n \lambda_i\,|y_i|^2$$

Supposons $y\in\C^n$. On peut le changer en $(|y_1|,\ldots,|y_n|)\in\R^n$ sans changer la dernière somme. Donc les $\max$ sont égaux.