rayon de convergence

Said Fubini

Bonsoir,

si $V$ est la forme lineaire sur $\C[X]$definie par $V(X^i)=i$
Quel est le rayon de convergence (si il est non nul) de la serie entiere suivante
$$\sum _i V[X(X-1)...(X-i)]z^i$$

Guego

Pour tout polynôme $P$, on a $v(P) = P'(1)$.
En écrivant $X(X-1)...(X-i)$ sous la forme $PQ$ avec $P=X-1$ et $Q=X(X-2)...(X-i)$, et avec $(PQ)'(1) = P(1)Q'(1)+P'(1)Q(1)$, on trouve $V(X(X-1)...(X-i))=(-1)^{i-1}(i-1)!$ (si $i\geq 1$).

Donc la série entière a un rayon de convergence nul.

Said Fubini

Bonjour,

merci guego pour ta réponse claire .

jean lismonde

bonjour

d'après Guego la série s'écrit:

S(z) = 1 - z.1! + z².2! +........+ (-z)^n.n! + ......

nous reconnaissons le développement polynomial valable pour z supérieure ou égale à 0
de la fonction Grande exponentielle E(z) définie pour z réelle par

intégrale de 0 à +oo de exp(-t).dt/(1+t.z) = intégrale de 0 à 1 de dt/(1-z.lnt)

pour z=1 alors E(1) = 1 - 1! + 2! -......+ (-1)^n.n! + .....
=0,596 347 362 323 194 074 340 263 014 821 ......
constante attribuée à Gompertz mais qu'Euler connaissait et utilisait

en fait ta série converge (de façon explosive) pour z supérieure ou égale à zéro

cordialement

samok

très fort tout ça, E(1) converge avec un terme qui ne tend pas vers zéro et sa limite n'est pas un entier bien que toutes les sommes partielles le sont.

S

Said Fubini

bonsoir samok
$ E(z)$ ne converge pas mais c'est simplement un developpement asymptotique (développement polynomial: Borel , Euler , Ramis ou Malgrange....)de $ \displaystyle \int _0 ^{\infty} \frac{e^{-t}dt}{1+tz}$ valable dans tout secteur de $\C$ issu de l'origine , bissecté par $\R^+$ et d'ouverture supérieur à $\pi$.

L'equation d'Euler est $z^2 y'+y=z$ sa solution est $\displaystyle y(z)=\int _0 ^{\infty} \frac{e^{-t}dt}{1+tz}$ et sa solution formelle est $\displaystyle\sum _{n \leq 0}(-1)^n n! z^{n+1}$

Le lien entre les deux solutions (malgré la divergence de la deuxième) est donné par la théorie de la sommabilité que tu peux voir une bonne introduction dans le lien suivant \lien{http://www.cimpa-icpam.org/NotesCours/PDF/2008/CoursLoday.pdf }

samok

Et bien je vous remercie pour ces précisions aussi utiles qu'interessantes sieur Said Fubini.

S