Droites et cercles dans le plan affine euclidien
Bonjour à tous.
Je dois présenter la leçon "Cercles et droites dans le plan affine euclidien", leçon niveau agrégation interne. Le problème auquel je suis confronté est de présenter une leçon cohérente et ayant un "but".
J'imagine qu'un catalogue de propriétés et définitions ne serait pas du meilleur effet. Je suis un peu paumé
A l'aide Bruno...
Je dois présenter la leçon "Cercles et droites dans le plan affine euclidien", leçon niveau agrégation interne. Le problème auquel je suis confronté est de présenter une leçon cohérente et ayant un "but".
J'imagine qu'un catalogue de propriétés et définitions ne serait pas du meilleur effet. Je suis un peu paumé
A l'aide Bruno...
Réponses
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Je viens de regarder le programme de géométrie de l'Agreg interne, effectivement, il ne reste plus grand chose à se mettre sous la dent.
Je vois quand même qu'on y parle du groupe de similitudes et de la géométrie des cercles. Je ne sais pas très bien ce que signifie cette dernière géométrie. Est-ce un embryon de la géométrie circulaire, Bruno?
Si oui, voilà qui ferait un bon lien entre droites et cercles d'un plan affine euclidien.
Reste le groupe des similitudes avec la condition de cocyclicité de 4 points comme outil principal et en particulier la construction du centre de similitude qui fait intervenir des tas de droites et cercles.
Regarde les fils du forum qui en ont parlé!
La construction du centre d'une similitude indirecte, moins connue, fait lui aussi intervenir cercles et droites.
Ce ne sont que des idées que je te propose. Bruno est certainement un meilleur spécialiste que moi sur les leçons de l'agrégation!
Amicalement
Pappus -
Merci ; ça me donne quelques idées.
-
Désolé, j'ai une idée du contenu de l'exposé pour le capes (Le cercle...) Mais pour l'agrégation, fut-elle interne, je n'ai même pas idée de la durée de l'épreuve ni du programme.
Ce n'est pas que je ne veuille pas te conseiller, mais :
1°) Je suis suuuurbooké 8-).
2°) Il y a surement des préparateurs sur ce forum qui seront mieux à même de te conseiller.
3°) Pappus est un homme de ressources.
Je suis tout cela de loin pour voir.
Bruno -
Une idée de plan
1. Puissance d'un point par rapport à un cercle
2. Cercles orthogonaux
3. Axe radical de deux cercles
4. Centre radical de trois cercles -
Pourquoi pas? Mais ton ordre me parait bizarre. Il me paraitrait plus logique de parler de l'axe radical juste après la puissance.
La formule donnant la différence des puissances d'un point par rapport à deux cercles et faisant intervenir leur axe radical était capitale( voir par exemple la relation d'Euler entre rayons des cercles circonscrit et inscrit à un triangle).
La notion de faisceau de cercles, (cercles ayant le même axe radical), me parait importante mais est-elle encore au programme de l'agreg?
Avec en plus la définition de cercles orthogonaux, on tombe alors sur les faisceaux de cercles orthogonaux.
La notion de cercles orthogonaux conduit aussi directement à la théorie de la polarité.
Autrefois, on se servait des faisceaux de cercles pour créer des constructions tournant autour des coniques comme intersection d'une conique et d'une droite, etc...
Amicalement
Pappus -
Il me semble qu'il manque au moins :
- la position relative d'une droite et d'un cercle ;
- la position relative de deux cercles ;
- les propriétés angulaires des cercles :-( !
Le tout énoncé dans le désordre. Maintenant, de combien de temps disposes-tu, pourquoi faire (plan ou exposé global ?)
Bruno -
Merci Bruno!
Je n'avais aucune idée de ce qu'était la leçon de géométrie de l'agreg interne.
Je vois qu'il faut rester très élémentaire.
Il faut évidemment parler de ce que tu viens de dire mais faut-il en rester là?
Enfin, c'est le problème de did63! Je ne voudrais pas être à sa place!
Très amicalement
Pappus -
Halte là, pappus !
J'ai écrit plus haut que justement je ne savais rien des attentes du jury -- tu peux me rétorquer que je n'ai qu'à lire le rapport, mais je manque un peu de temps -- de plus, j'ai écrit : "il manque" ce qui signifie que je propose d'ajouter ces éléments au plan de did63.
Bruno -
Peut-être, la droite d’Euler, la droite de Simson ? Lien avec le cercle circonscrit ?
Les quatre paquets de droites remarquables (bissectrices, médiatrices, hauteurs, médianes) ? Cela me semble plus hors-sujet.
Cela dit, cette leçon est bien vide si on ne peut pas parler d’homographie.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
En exo/développement sortant de l'ordinaire, on peut présenter le théorème de Haruki (même si cela ne vole pas bien haut ...)
http://mathworld.wolfram.com/HarukisTheorem.html
(voir Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry de Ross Honsberger http://www.amazon.com/Episodes-Nineteenth-Twentieth-Euclidean-Mathematical/dp/0883856395/ref=pd_bbs_sr_1?ie=UTF8&s=books&qid=1233914286&sr=8-1)
En biblio, si on veut voler haut, on peut regarder Geometry of Complex Numbers de Hans Schwerdtfeger.
http://www.amazon.com/Geometry-Complex-Numbers-Hans-Schwerdtfeger/dp/0486638308/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1233914145&sr=8-1 -
Aller chercher les homographies, alors là ce serait le pied!
Le livre de Hans Schwerdtfeger est entièrement consacré à la géométrie circulaire! Il n'est pas simple à lire!
Pour en revenir à la leçon de did63, si on se limite simplement au groupe des similitudes, il y a quand même des choses à dire sur la façon dont elles opèrent sur les droites ou sur les cercles et en particulier sur les similitudes laissant globalement invariant soit une droite soit un cercle ou bien soit une paire de droites soit une paire de cercles.
Après, on peut éventuellement regarder les similitudes envoyant la droite $D_1$ sur la droite $D_2$ ou le cercle $C_1$ sur le cercle $C_2$, etc...
Les possibilités sont infinies!
Amicalement
Pappus -
Merci à tous:
Il est clair que je ne pourrais pas tout mettre.
Je vais vous enoncer le principe de l oral de l' agreg interne.
Un sujet est tiré au sort. 3 heures de préparation avec n importe quels livres issus du commerce...
Présentation de la leçon:
1/4 h Les théoremes , définitions et propriétés doivent etre explicitement écrits, il ne s agit donc pas d un plan...
1/4 h Développement d un des points traités dans la leçon.
1/4 h Questions du jury....
Vous comprenez mon probléme...1/4 h ,c est pas long -
Un quart d'heure, c'est plus long que tu ne le dis pour fournir un plan.
Dans le plan, je mettrais donc :
- positions relatives d'une droite et d'un cercle, de deux cercles ;
- propriétés angulaires , droite de Simson et de Steiner.
- puissance d'un point, axe radical, centre radical (? temps) ;
- faisceaux de cercles ;
- en conclusion, par exemple, le théorème de Newton sous la forme : dans un quadrilatère complet, les milieux des diagonales sont alignés, les orthocentres de quatre triangles également et les deux droites sont perpendiculaires (application des faisceaux de cercles).
Puis, à choisir :
- cercles et similitudes ;
- cercles et inversions ;
- Le point de Miquel.
Il semblerait que le projectif ne soit pas indispensable car avec tout cela tu as du pain sur la planche ou du grain à moudre au choix.
Bruno -
Merci,effectivement ,il y a de quoi travailler.Merci à tous
-
Bonjour. Si on répond pour l'ensemble $\mathcal D$ des droites, $$\mathcal D=\{[u,v,w], u,v,w \in \mathbb R\}=\mathbb P((\R^3 )^*)\text{ Point davantage.}$$ j'imagine que cela sera mal pris.Cordialement, Stéphane.
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Bonjour!
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