Brownien conditionné

Bonsoir,

Je suis à la recherche d'un résultat particulier concernant le brownien qui ne me semble pas si compliqué à première vue mais que je n'arrive pas à obtenir (par mes propres moyens ou dans un bouquin).

Voici le problème (simplifié) : quelle est la loi de proba d'un brownien (issu de 0) conditionné à être inférieur à $a\sqrt{t}$ ($a>0$) pour $t\in [0,t_0]$ et valant $a\sqrt{t_0}$ en $t_0$ ?

J'ai essayé d'attaquer en considérant un pont brownien conditionné par son sup dont je connais la loi, cependant je n'arrive pas à calculer la loi jointe pour en déduire la loi conditionnelle.

Une fois ce résultat obtenu, cela pourrait donner des idées pour le problème qui m'intéresse vraiment, à savoir un brownien conditionné à être compris entre $-b\sqrt{t}$ et $a\sqrt{t}$ ($a,b>0$) et valant $a\sqrt{t_0}$ en $t_0$.

Si quelqu'un a des idées sur comment attaquer le problème ou une référence, qu'il n'hésite pas.

D'avance merci pour votre aide !

Amicalement,

Réponses

  • Peut-être y a-t-il des éléments dans cet article (que je n'ai pas lu) qui semble relié par certain aspects ?
    \lien{http://arxiv.org/pdf/math.PR/0308242}

    Et sinon, de quoi plus précisément as-tu besoin sur la loi de ce brownien conditionné ?

    [Activation du lien. AD]
  • Je vais jeter un coup d'oeil à l'article, merci alekk.

    Sinon, plus précisément j'ai besoin de pouvoir générer un échantillon de la loi de ce brownien conditionné, évidemment à condition d'avoir une formule utilisable.
  • Tu peux aussi peut-être jeter un coup d'oeil à :
    http://www.jstor.org/pss/3215575

    Ou peut-être à cet article :
    Leo Breiman
    First exit times from a square root boundary.
    Proc. 5th Berkeley Sympos. math. Statist. Probab., Univ. Calif. 1965/1966, 2, Part 2, 9-16 (1967).

    mais ce n'est pas pour les ponts Browniens.

    Bon courage
  • Salut à tous,

    S'il s'agit "juste" de savoir simuler cette loi, est-ce qu'une approche type rejet ne suffirait pas, en simulant un pont brownien sur $[0,t_0]$ allant de $0$ à $a\sqrt{t_0}$ et en ne gardant que les trajectoires restant entre $-b\sqrt{t}$ et $a\sqrt{t}$ ? Bien sûr la simulation ne serait pas exacte vu qu'on ne sait pas ce qui se passe entre les points de discrétisation mais on doit pouvoir montrer un résultat de convergence.
  • Je pense que cela vaudrait également la peine de voir si on ne peut pas reformuler le problème en terme de pont sur des processus de Bessel Carrée de dimension 1.

    En fait je pense qu'on l'on retrouver dans cette reformulation une frontière qui soit linéaire plutôt qu'une racine carrée ce qui pourrait simplifier les choses. Après en ce qui concerne le ponts pour le processus de Bessel il me semble qu'il y a pas mal de litérature dessus.
  • Dernière idée qui pourrait être creusée.

    Je suis en train de regarder un survey-paper d'Obloj sur le problème de Skorokhod d'incorporation de temps d'arret $T$ dans un brownien $B_t$ (pour résumer) pour avoir une égalité en loi entre une distribution $\mu$ assez générale donnée au départ et la v.a. $B_T$.

    Et bien une des solutions (celle de Root) à ce problème utilise la notion de "barrière" ce qui ressemble à ton problème Kuja. Sauf que toi tu cherches $\mu$ à partir de $Y_T$.

    Je pense que cela vaudrait peut-être le coup que tu y jettes un coup d'oeil.
    De toute façon le papier est très bien fait et intéressant en lui-même donc ce n'est pas du temps perdu.
    \lien{http://arxiv.org/abs/math/0401114}
    A+

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Hello tout le monde,

    Je n'ai eu le temps de lire que l'article d'alekk mais il est un peu trop compliqué pour le pauvre statisticien que je suis.
    Par "désespoir", j'ai eu le même réflexe qu'egoroff, à savoir générer un paquet de trajectoires et ne garder que celles qui respectent mes barrières.
    Ca fonctionne et répond à ma question, cependant j'aurais été fan d'un résultat théorique.
    Je vais jeter un coup d'oeil à ton article el puente, mais pas tout de suite ce week end j'emménage ;)

    Merci déjà pour vos idées, je reviendrai vite pour vous tenir au courant.

    PS : ça fait plaisir de revenir et de vous retrouver fidèles à vous mêmes !
  • Hello bon je n'ai toujours pas trouvé l'expression de la densité de ta loi "bridgée" mais par contre j'ai un joli résultat que j'ai trouvé dans un bouquin de Peskir et Shiryaev sur les problèmes d'arrêts optimaux qui est en train de devenir mon livre de chevet.

    Voici le "petit" résultat :

    Soit $B_t$ un brownien (partant de 0). Soit $g: \R^+\to\R$ une fonction continue satisfaisant $g(0)>0$.

    Soit $\tau$ le premier temps de passage du brownien au dessus de la frontière dessinée par $g$, et soit $F$ la loi de $\tau$.
    Si, de plus, $g$ est continuement dérivable sur $\R^{+*}$, croissante, concave et satisfait à $g(t)\leq g(0)+c\sqrt{t}$ pour un $c>0$ et tout $t$.

    Alors :

    $$P(\tau\leq t)=F(t)=h(t)+\sum_{n=1}^{+\infty}(\int_{0}^{t}K_n(t,s)h(s)ds)$$

    Avec :

    -$h(t)=2\Psi(\frac{g(t)}{\sqrt{t}})$

    -$\Psi(x)=1-\Phi(x)$ ($Phi$ est la cumulative d'une v.a. normale centrée réduite)

    -$K_1(t,s)=\frac{1}{\sqrt{t-s}}(2g'(s)-\frac{g(t)-g(s)}{t-s})\phi(\frac{g(t)-g(s)}{\sqrt{t-s}})$

    -$K_{n+1}(t,s)=\int_{s}^{t}K_1(t,r)K_n(r,s)dr$

    pour $0\leq s<t$

    Voilà

    Pour ton cas Kuja le but du jeu est de ramener ton processus bridgé par des transformations en temps et en espace à un MB et de trouver $g$.

    a+
  • Malheureusement ce n est pqs aussi simple car le brownian bridge suppose un
    $\frac{a}{\sqrt{t_0}}t + B_t - \frac{t}{t_0}B_{t_0}$ et le dernier terme est dur a tracter...
    comme $g$ j aurais bien pris $g(t) = \frac{a}{2}\sqrt{t} + \frac{a}{2}\sqrt{t_0}$
  • Pour moi le pont brownien suit l'eds suivante :

    $dB^{0\to a\sqrt{t_0}}_s=\frac{a\sqrt{t_0}-B^{0\to a\sqrt{t_0}}_s}{t_0-s}ds+ d\beta_s$

    sur $[0,t_0[$ avec $\beta_s$ un mouvement brownien.
    (voir chapitre VI de Protter)

    A partir de là, pourquoi on ne pourrait pas tenter quelque chose pour "réduire" le problème de Kuja au cas général du théorème de mon dernier post. C'est-à-dire de trouver un changement de temps explicite qui nous ramènera à un MB.

    Après que la frontière que l'on aura déterminée ne tienne pas toutes ses promesses, c'est une autre histoire.
  • Ouais ... mais enfin vu la gueule du processus densité dans le changement de proba...
  • Pour conditionner un brownien a rester sous une courbe $g(t)$, avec $g$ assez gentil ($\sqrt{t}$ n'est pas assez régulier ici car sa dérivée en $0$ ne se comporte pas bien), mais le moyen classique est de trouver l'EDS satisfaite par $B_t-g(t)$, ce qui est immédiat, de faire du Girsanov pour enlever le drift, et de simuler alors une excursion (ce qui se fait assez bien)

    Peut-être quand prenant une fonction coïncidant avec $\sqrt{x}$ sur $[\epsilon;t_0]$, et en régularisant près de $~0$ on pourrait avoir de très bonnes approximations .. a voir ..
  • Le théorème de TheBridge est le Théorème 14.7 page 237, une note indique que la loi du premier temps de sortie de racine est connue mais via sa transfo de Laplace. L'inversion est mentionnée "non tractable"
  • qu'appelle-t-on le premier temps de sortie de racine ?
  • Juste pour préciser un ou deux trucs le th que je donne est ok pour un brownien "normal" et permet de donner la distibution du premier temps d'atteinte d'un brownien d'une frontière déterminé par une gentille fonction.

    Dans le cas de Kuja c'est quand même assez différent.

    -primo son brownien est contraint de terminer en $t_0$ à la valeur $a\sqrt{t_0}$ c'est donc un pont brownien.

    -deuzio il contraint en plus son pont brownien à rester sous la fonction frontière $a\sqrt{t}$

    -tertio il veut connaitre sous ces conditions la loi du sup de ce processus sur l'intervalle $[0,t_0]$.

    Avant d'essayer de répondre complètement à la question de Kuja, je me disais essayons déjà de connaitre la distribution du premier temps d'atteinte de la frontière $a\sqrt{t}$ sachant que le processus est conditionné à atteindre $a\sqrt{t_0}$ en $t_0$(i.e. que le processus est un pont brownien). Pour se faire je voulais voir si on pouvait se ramener au th que j'ai donné après une tranformation du pont brownien.

    Ensuite, on pourra éventuellement conditionner le pont bronwien avec la contrainte supplémentaire que le temps d'atteinte de la frontière soit exactement $t_0$ (ce qui est le même évènement que " le pont brownien reste sous la frontière").

    Donc pour l'instant j'en suis juste au point : regarons la distribution du temps d'atteinte de la frontière $a\sqrt{t}$ pour le pont bronwien.

    Quel est votre sentiment messieurs sur cette démarche ?
  • Ben perso j avais bien compris...
    je pense qu il faut reprendre la demo du theoreme et essayer de l appliquer en la modifiant au pont dont on connait l eds parceque trouver un changement de temps malin...
  • ou est la betise:
    le pont brownien se comporte comme un mouvement brownien pour des temps tres petits, et un mouvement brownien verifie $\limsup_{t \to 0^+} \frac{B_t}{\sqrt{t}} = +\infty$, donc le temps d'atteinte est nul.
  • C'est vrai !!!

    Cela veut que les trajectoires qui ne touchent pas immédiatement la frontière de Kuja sont de proba nulle par rapport à la mesure de Wiener

    hum c'est étonnant du coup que Kuja ait pu tirer des trajectoires qui ne frappent pas immédiatement sa frontière dans sa simultation.

    En fait, quand on discrétise on "saute" par dessus le segment $[0,\epsilon]$ où le processus va toucher la frontière, et si on fait tendre $\epsilon$ cers 0 on doit donc se rendre compte que presqu'aucune trajectoire ne peut échapper à la frontière.

    Je me trompe là ?
  • oui - mais peut etre que Kuja a utilise une autre methode. C'est comme lorsque l'on simule une excursion: bien que cela n'arrive qu'avec une probabilite nulle qu'un brownien soit positif sur $[0;1]$, on peut comme meme le simuler par d'autre methode
  • Je ne sais pas Alekk, il faudrait lui demander parce que j'avais l'impression qu'il utilisait un algorithme de type Acceptation-Rejet sur les trajectoires et là je crois que l'on tombe sur l'os que tu as si finement déterré ? ;)

    Kuja si tu nous lis ...
  • Moi je ne suis pas si etonne que ca les comportements a l origine via schema de discretisations sont toujours courts circuites...
    Je suis gene parceque alekk a encore fait une de ses remarques trivialisatrices, et celle la je l avais mais je n osais pas le dire ;(
  • sois pas si timide stat

    regarde-moi, je dis au moins une bétise par fil B-)-
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