Algebre 2

ted2

Salut à tous !
J'ai 2 questions :
_ Comment faire pour prouver que 2 matrices sont semblables ?
_ Qu'est ce qu'un polynome annulateur, comment faire pour les trouver ?
Merci d'avance, ces questions peuvent paraitre bêtes mais je coince là-dessus et mon cours manque de précisions sur ces 2 parties.

Paul BENICHOU

Pour prouver que deux matrices sont semblables on peut montrer qu'elles représente le même endomorphisme dans deux bases différentes.
Un polynome annulateur est un polynome qui donne la matrice nulle lorsque l'on remplace l'indéterminée X par la matrice.
Par exemple, toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton).

Zantac0

Exactement. On pourrait citer qq propriétés pour montrer que deux matrices ne sont pas semblables :
*elles n'ont pas le même rang
*elles n'ont pas la même trace
*elles n'ont pas le même polynôme caractéristique

Denis

Alain Debreil0

Bonjour ted

1) Deux matrices qui sont semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Elles ont donc même valeurs propres, même dimension d'espace propre pour chaque valeur propre, même polynôme caractéristique, même polynôme minimal, etc ...
Malheureusement 2 matrices ayant ces propriétés communes ne sont pas nécessairement semblables.
Pour avoir une CNS il faut que les 2 matrices aient les mêmes "invariants de similitude". Ce sont des polynômes qui en général ne sont pas très simples à calculer !
Voir \lien{http://perso.univ-rennes1.fr/gregory.vial/agreg/cplt/ivs.pdf}

2) Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, $u \in End(E)$ un endomorphisme de $E$ et $A$ la matrice $n \times n$ le représentant dans une base donnée (par exemple la base canonique).
Un polynôme annulateur de $u$ est un élément $P \in K[X]$ tel que $P(u) = 0$, où $u^n$ est la composition $u_{\circ}u_{\circ} \cdots_{\circ}u,\; n$ fois. Dans la base donnée on aura aussi $P(A) = 0$, où $A^n$ est le produit $n$ fois de la matrice $A$ (ce qui correspond bien à la composition de $u$ par $u,\; n$ fois).
Un tel polynôme existe parce que $End(E)$ est un espace vectoriel de dimension $n^2$ sur $K$, donc $\{id, u, u^2, ... , u^{n^2}\}$ sont $n^2+1$ éléments donc liés dans $End(E)$. Il existe donc $a_i \in K$ tels que $a_0 id + a_1 u + a_2 u^2 + \cdots + a_{n^2} u^{n^2}} = 0$ qui est un polynôme de $K[X]$ annulant $u$.
L'ensemble des polynômes annulant $u$ est un idéal non nul de $K[X]$, et comme $K[X]$ est un anneau principal, il existe un unique polynôme $P_m$ unitaire engendrant cet idéal. Tout polynôme annulant $u$ est donc multiple de $P_m$, d'où son nom (minimal).
Le théorème de Caley-Hamilton nous dit que le polynôme caractéristique $P_c(X) = det (X.I_n-A)$ annule $u$, donc est multiple de $P_m$.
Mais on montre que $P_m$ et $P_c$ ont les même racines (dans une extension de $K$ convenable), qui sont les valeurs propres de $u$ avec peut-être pas la même multiplicité.
On peut alors déterminer le polynôme minimal $P_m$ à partir du polynôme caractéristique $P_c$:
Si $P_c$ n'a que des racines simples dans $K$ (ou une de ses extensions) alors il est égal a $P_m$ (il doit avoir les mêmes racines qui sont simples).
Si $P_c$ a des racines multiples, on va déterminer $P_m$ par essais successifs, en partant du polynôme avec toutes les racines simple, et s'il n'annule pas $u$, on va ajouter les multiplicités une à une, jusqu'a trouver le polynôme annulant $u$. Dans les exercices proposés, $n$ vaut 2, 3 voire 4 et le calcul de $P_m$ est rapide.

Bref je me suis laissé emporter par le sujet, en espérant ne pas t'avoir trop embrouillé.

Alain