limsup au programme?

e=mc3

Bonjour

j'ai beau lire les programmes de CPGE et de CAPES je ne vois rien de bien clair concernant l'usage de la limite supérieure (ou inférieure), notamment dans les chapitre sur les séries et plus particulièrement sur les séries entières.

Dans le programme du CAPES le paragraphe sur les séries entières est vraiment très laconique:

"série entière; rayon et disque de convergence;convergence normale sur tout compact du disque de convergence"

et c'est tout concernant les généralités!!!Impossible de savoir ce qu'il faut mettre dedans, Hadamard pour la formule du rayon de convergence ou pas notamment?

Dans le paragraphe sur les séries numériques ils sont un peu plus explicites en parlant des règles de Cauchy et de d'Alembert mais ne précisent pas s'il s'agit des versions avec limsup et liminf ou non.

Comment font les profs qui enseignent en prépa ou en prépa CAPES pour lire entre les lignes du programme et savoir ce qui est au programme ou hors programme et donc non utilisable comme tel à l'écrit?

En fait je suis tombé sur un exo du Sorosina qui se complique la vie pour étudier la série $\sum tan(n\pi/7) z^n$ alors qu'avec une limite sup ca va tout seul pour trouver le rayon de convergence.

Aleg

Bonjour,

A ma connaissance, la notion de limsup n'est plus aux programmes de prépa et de CAPES depuis une bonne vingtaine d'années.

e=mc3

Donc quelqu'un qui utilise une limsup/liminf (quand c'est nécessaire bien sûr) pour prouver la convergence, divergence d'une série, calculer le rayon de convergence d'une série entière lors d'une épreuve écrite CAPES/ CPGE se fait sabrer?

C'est quand même bizarre que l'on continue à parler de suite extraite (complètement au programme) de valeurs d'adhérence d'un ensemble ou d'une suite(également au programme) sans continuer à parler limsup et liminf au moins pour les suites. Ca rime à quoi d'introduire la notion de valeur d'adhérence d'une suite si c'est pour s'arrêter en cours de chemin et ne pas introduire les limsup et liminf?

Qu'en est il de l'agreg interne, c'est également hors programme?
Je vois nulle part mention faite de cette notion ni de la formule de Hadamard dans le programme de l'agreg interne.
Pourtant dans les ouvrages de préparation aux concours (qui n'ont pas 20 ans) on y retrouve cette notion. Je pense à des ouvrages comme le cours de Meunier pour l'agreg interne, le cours d'Auliac pour le CAPES externe et l'agreg interne.

gb

En CPGE, on introduit la notion de valeur d'adhérence d'une suite pour définir la compacité (dans les espaces vectoriels normés) par la propriété de Bolzano-Weierstrass, passage obligé depuis que les espaces métriques généraux et la propriété de Borel-Lebesgue ont disparu des programmes officiels.

e=mc3

ca ne répons pas à la double question:
a)quelqu'un qui utilise cette notion pour répondre à une question à l'écrit se fait il sanctionner?
b)comment faites vous à la lecture de programmes on ne peut plus laconiques et si peu explicites arriver à être aussi précis sur ce qui est ou n'est pas au programme?

Alban

Quelqu'un qui utilise un résultat qui est vrai dans une copie de Capes ne sera pas sanctionné, sauf s'il biaise clairement l'esprit de l'énoncé, par exemple si la question est " en vous servant du résulat 3a montrer que...." et que le candidat résoud sans se servir de 3a.
Maintenant la question n'est pas de juger de la pertinence du programme, mais de faire avec tout ce qu'il y a dedans.
Surtout que la formule d'Hadamard est un peu gadget et qu'à ma connaissance n'a jamais été utile lors des 20 derniers écrits du Capes.
Conclusion : inutile de charger la tête des étudiants d'un résultat de plus, ou alors faire un problème qui introduit la limsup et qui débouche sur des applications (là oui ça serait un travail utile en vue de l'écrit).

GLaG

Puisque Meunier est évoqué, je me rappelle très bien qu'il utilisait cette notion en cours de M' en 1994, mais que nous savions aussi très bien qu'elle n'était pas au programme.

En colle récemment je suis tombé sur un élève qui l'utilisait dans un cas où elle n'avait aucun intérêt (la limite "classique" existait), je lui ai dit que c'était s'exposer inutilement à des questions pendant un oral (du type "mais c'est quoi ce que vous appellez limsup ? Ca se définit comment ? Ca a quelles propriétés ?"). C'est une question de rapport bénéfice/coût : si refaire la démonstration en parlant de valeurs d'adhérence ne prend pas beaucoup de temps, autant le faire (ça dépend un peu des concours aussi, et du niveau du candidat : un bon candidat (bonne copie, leçon de bon niveau et sans erreur) ne prend pas trop de risque, avec un candidat plus moyen le correcteur ne lui accordera pas forcément le bénéfice du doute, le jury va creuser un peu pour voir s'il maîtrise bien la notion...

e=mc3

Alban ma question est plutôt comment vous faites à la lecture du programme pour en conclure que limsup Hadamard and co sont hors programmes. L'interprétation des programmes reste pour moi un grand mystère.

Maintenant je ne suis pas d'accord la limite sup permet de résoudre de manière efficace des cas de séries où $|a_n|^{1/n}$ n'a pas de limite mais où la limite sup est quasiment triviale.

aléa

Dès qu'on cherche à montrer des convergences à la main (avec des epsilon), que l'on doit régler des paramètres, la limite supérieure est un outil très précieux qui permet justement de limiter le coupage d'epsilon en 4. Ca permet aussi de bien analyser les démonstrations: qu'est-ce qui est uniforme par rapport à quoi ?

Mode un peu provoc, mais pas tant que ça: très franchement, je pense que ne pas parler de lim sup "parce que c'est trop dur", c'est à peu près se faire à l'idée que les étudiants ne comprendront jamais la notion de limite et ne sauront jamais utiliser en analyse que des boites noires.

e=mc3

c'était pas l'objet de mon fil alea mais je suis un peu d'accord (du coup Alban va se trouver conforter dans l'idée que j'aurais ouvert un fil pour émettre un jugement sur le programme ce qui n'était pas le cas). Enfin je ne vois pas en quoi parler de plus grande valeur d'adhérence est quelque chose de compliqué...au contraire ça simplifie les choses dans bien des situations...

au risque d'enfoncer le clou la question que je me pose c'est comment vous faites à la lecture du programme pour en conclure catégoriquement que tel résultat ou telle notion est hors programme.

aléa

e=mc3 Écrivait:

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> Comment font les profs qui enseignent en prépa ou
> en prépa CAPES pour lire entre les lignes du
> programme et savoir ce qui est au programme ou
> hors programme et donc non utilisable comme tel à
> l'écrit?

Là, je suis d'accord avec Alban: il y a deux choses différentes: ce qui est exigible (et peut donc être au centre d'un problème sans aucun rappel), et ce qui est utilisable à l'écrit (sauf perversion consciente de la question)

Ce qui est exigible à l'écrit est déterminé par le programme, avec un risque d'erreur très faible. Dans l'exemple que tu prends les mots "limite supérieure, limite inférieure" sont écrits au programme de l'agreg, pas du capes.

Quant à ce qui est utilisable, il faut un peu de pratique: si une large proportion des candidats est susceptible d'avoir vu en cours tel ou tel résultat, il est fréquemment admis que le candidat puisse utiliser ce résultat, à supposer que les hypothèses auront été énoncées et vérifiées très soigneusement.
Ainsi, dans un passé récent, le jury du capes s'était accordé à accepter l'usage de la convergence dominée, sous les conditions que j'ai données.

Alban

Oui tout à fait d'accord, le passage aux limites supérieurs ou inférieurs permet d'éviter des calculs epsilonesques parfois tortueux ! On est tout à fait d'accord sur ce point.

Mais simplement je rejoins GLaG, un candidat au Capes qui utilise ça à l'oral à intérêt à être bien à l'aise avec la notion car les questions vont probablement fuser...Et comme la plupart des étudiants que je prépare sont plutôt de niveau moyen à faible, je préfère éviter de les surcharger avec des outils supplémentaires hors-programme.

Pour la question initial sur la question des programmes du capes, il est vrai que c'est parfois un peu...elliptique !

GLaG

Pas d'accord avec la "provoc" d'alea...les outils pratiques comme la limite sup sont justement ceux qui permettent d'éviter à certains étudiants de comprendre les choses quand ils deviennent des recettes utilisées sans discernement (par exemple comme l'exemple récent que j'ai déjà citer : ne pas mentionner qu'une suite converge pour évoquer sa limite sup).

Typiquement, quand on me parle de limite sup je pose souvent la question : "comment définissez-vous cela ?". Si la réponse est "c'est la plus grande des valeurs d'adhérence" je demande alors "pourquoi l'ensemble des valeurs d'adhérence possède-t-il un plus grand élément" (on parle de suites bornées, pour simplifier) j'ai souvent des surprises (du type "il est non vide et majoré"..).

Bref, je dirai que si on est capable de répondre à ces deux questions sans hésiter et en moins d'une minute, on a le droit d'utiliser la notion dans un oral. Sinon, il vaut mieux utiliser des epsilon...(et c'est valable que la notion soit ou non au programme, d'ailleurs).

e=mc3

Alea tu dis "Dans l'exemple que tu prends les mots "limite supérieure, limite inférieure" sont écrits au programme de l'agreg, pas du capes. "

Donc pour savoir si une notion non explicitée dans un programme est hors programme il faut trouver un autre concours où elle explicitée pour en conclure que son absence la rend hors programme:S

Je n'ai pas le temps de me livrer à ce petit jeu, mais on doit bien pouvoir trouver des choses non explicitement mentionnées dans le programme de l'agreg et qui le sont explicitement dans celui du CAPES. Doit on en conclure que c'est hors programme de l'agreg.? Sans une étude précise de quoi il est difficile de répondre catégoriquement. A mon avis ça dépend des cas.

Personnellement je pense que pour savoir ce qui est sous entendu dans un programme il faut en avoir suivi tout l'historique depuis bien bien longtemps. Je dirais une vingtaine d'années. Et là alors effectivement si quelque chose était explicitement mentionné puis disparaît l'année suivante on est en droit de se dire que c'est devenu hors programme. Donc seuls les gens enseignant dans des classes de préparation à concours depuis des années connaissent avec une précision redoutable le contenu des programmes. Pour le commun des mortels, on prend un livre de prépa concours édité récemment et l'on se fie à ce qu'il y a dedans...en espérant que quand l'auteur parle d'une notion hors programme il prenne la peine de préciser que c'est hors programme.

Pour en revenir à la limite supérieure je suis allé regarder de près. Résultat des courses selon ta méthode:
au programme de l'agreg externe, hors programme agreg interne et CAPES externe....oui mais voilà elle est explicitement utilisée dans le cours d'AULIAC capes externe/agreg interne dans le chapitre sur les suites comme dans celui sur les séries. Alors on doit en conclure quoi? Que cette notion a disparu des programmes en question depuis 2002, date d'édition de l'ouvrage. C'est un truc de fou ces histoires de programme::o

ev

Bonjour e=mc3.

Je pense que tu ne prends pas le problème par le bon bout. Le but des concours n'est pas d'évaluer la connaissance des candidats sur le texte du programme, mais sur son contenu...
Le hors-programme est là pour protéger les candidats contre les dérives.

Il n'y a pas de limite supérieure ? C'est pour éviter les sujets / questions / exercices trop techniques sur ou utilisant la limite supérieure.

Idem pour la transformation d'Abel en vente à prix cassé sur un autre fil

etc.

Le problème du programme se pose dans toute classe à partir de la sixième et encore plus avant.
Il faut distinguer la lettre et l'esprit.
Tant que tu resteras sur la lettre, tu ne t'en sortiras pas.

Dans le cas des concours, tu as les rapports de jury qui te permettent de bien apréhender l'esprit en précisant aussi la lettre.

Après cela les enseignants et les auteurs font ce qu'ils veulent en fonction de leur public et de leur interprétation du programme. J'ai vu la formule d'Hadamard en spéciale.
J'ai le souvenir d'un candidat - brillant - sortant à l'oral (Mines P') le critère de Raabe et Duhamel, ce qui n'a pas vraiment impressionné l'interrogateur (c'était Comtet...). Lequel interrogateur l'a ramassé sur une question de cours à deux balles (équation de la parabole en polaire !)
Alors, le programme...

amicalement,

e.v.

gb

e=mc3 a écrit:

Donc pour savoir si une notion non explicitée dans un programme est hors programme il faut trouver un autre concours où elle explicitée pour en conclure que son absence la rend hors programme

Une notion non explicitée dans un programme est hors programme. Il n'y a rien à rajouter.
Son utilisation par le candidat lors d'un concours est soumise au bon vouloir du jury, qui est souverain, et qui peut l'accorder à un candidat et la refuser à un autre.
Son utilisation par le jury lors d'un concours est soumise au bon vouloir du candidat, qui peut exiger le respect de la lettre du programme qui est partie intégrante du règlement du concours.

GLaG

Je pense quand même qu'il ne faut pas se faire une montagne de ces questions...Comme il a déjà été dit plus haut, à l'oral les examinateurs peuvent toujours creuser un peu s'ils ont des doutes sur la maîtrise de la notion par le candidat, et à l'écrit un candidat qui utiliserait une notion hors-programme pour traiter un exercice ne sera pas pénalisé si cela ne court-circuite pas totalement la difficulté.

Dans ce cas précis, je serais curieux de voir un exercice où la notion de limite sup simplifie énormément les choses. Dans ton exemple avec a_n=tan(n\pi/7) il me semble que la solution :

a_n est périodique et la suite a_n prend 7 valeurs
en particulier elle est bornée (donc R>=1)
et elle en tend pas vers 0 (donc R<=1) :
le rayon de convergence est 1

est court, simple, et n'utilise pas la notion de limite sup. A l'inverse l'utiliser ne dénature pas l'exercice (on dit la même chose avec des mots plus savants)...donc pourquoi pas.
Le fait qu'un ouvrage corrigé n'utilise pas une méthode optimale n'a rien d'exceptionnel (ni de répréhensible, que celui qui a *toujours* traité *tous* ses exercices de manière irréprochable jette la première pierre..)

Bref, dans ce cas à l'écrit je mettrai tous les points (si c'est bien rédigé, et sauf si le reste de la copie montre que le candidat ne maîtrise pas du tout des questions plus élémentaires), à l'oral (que la notion soit au programme ou non) comme utiliser la notion de limite sup ne sert à rien, je cuisinerai un peu le candidat surtout s'il n'y a rien d'autre à dire sur le reste de sa prestation..

Aleg

Je trouve que e=mc3 prend les choses sous un angle bien procédurier et s'attarde sur des considérations secondaires.

Comme l'a rappelé gb, la règle est simple : un point qui n'est pas écrit dans le programme n'est pas au programme, point.

Maintenant, comme on s'adresse en l'occurrence (Capes, agreg, CPGE..) à des gens qui sont supposés maîtriser des choses qui vont au-delà du programme, il faut simplement (pour le jury comme pour le candidat) faire preuve d'un peu de bon sens et en pas se focaliser sur des ratiocinations exagérées.

Comme l'ont unanimement dit plusieurs intervenants ci-dessus, un candidat qui utilise un outil ou une notion hors-programme se fera ramasser si on voit que par ailleurs il ne maîtrise pas des choses beaucoup plus basiques, ou, à l'inverse, sera bien noté si cette incursion hors-programme apparaît naturellement sur la base d'une bonne maîtrise du programme.

aléa

GLaG Écrivait:

---

> Pas d'accord avec la "provoc" d'alea...les outils
> pratiques comme la limite sup sont justement ceux
> qui permettent d'éviter à certains étudiants de
> comprendre les choses quand ils deviennent des
> recettes utilisées sans discernement (par exemple
> comme l'exemple récent que j'ai déjà citer : ne
> pas mentionner qu'une suite converge pour évoquer
> sa limite sup).
>
> Typiquement, quand on me parle de limite sup je
> pose souvent la question : "comment
> définissez-vous cela ?". Si la réponse est "c'est
> la plus grande des valeurs d'adhérence" je demande
> alors "pourquoi l'ensemble des valeurs d'adhérence
> possède-t-il un plus grand élément" (on parle de
> suites bornées, pour simplifier) j'ai souvent des
> surprises (du type "il est non vide et
> majoré"..).

Je crois que nous ne parlons pas de la même chose.
Toi, tu adoptes le point de vue du candidat au concours (ou du préparateur d'icelui, ce qui revient un peu au même). Moi, je me place plus en amont, au moment où l'enseignant peut encore rêver à autre chose que faire le pompier.
Il est évident qu'un candidat un peu juste a intérêt a jouer profil bas et à ne pas faire le malin.
Ceci étant, dans l'exemple que tu donnes, l'étudiant mérite bien de se faire allumer à causes des bêtises qu'il t'a dites, non parce qu'il t'a parlé imprudemment de limsup. Il est possible que tu n'aurais pas vu ces lacunes s'il n'avait pas parlé de limsup, mais c'est mieux que tu les aies vu, non ?
Un même approfondissement sera pour l'un l'occasion de compléter sa culture, pour l'autre de reculer les frontières de la pédanterie. Pour autant, on continue à enseigner des choses intéressantes.
De même qu'il est de bons chasseurs et de mauvais chasseurs, il est des bons étudiants et de mauvais étudiants. (Le bon étudiant voit un théorème, il l'applique, tandis que le mauvais voit un théorème, il l'applique, mais ça n'a rien à voir...)

Pour parler plus sérieusement, je pense que la notion de limsup doit être enseignée, au plus tard l'année de L3, et pas sur un coin de tableau sur le mode "ah bon on vous en a jamais parlé, c'est bizarre", car c'est effectivement le bon moyen de ne faire passer qu'un message superficiel.

e=mc3

Comme je le rappelle dans un autre fil
pouvez vous montrer plus rapidement qu'avec la formule d'Hadamard qu'une série et la série des termes dérivés ont même rayon de convergence?