tout hyperplan de Mn_R rencontre GL_n(R)

spriet

Il parrait qu'une application de la connexité est que

"tout hyperplan de l'ensemble des matrices carrees de $\R$ a au moins une matrice inversible"

connaissez vous le lien entre connexité et cette question svp ?

merci

pappus

Bizarre, cette question de connexité car il me semble que c'est vrai pour tout corps $K$ et pas seulement sur $\mathbb R$.
On prend pour base de $M_n(\mathbb K)$ les matrices élémentaires $E_{ij}$, ( 1 pour le terme $(i,j)$, 0 ailleurs).
Si $M= (a_{ij}) \in M_n(\mathbb K)$, on définit une forme linéaire sur $M_n(\mathbb K)$ par:
$f(M) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} a_{ij}$ où les $\lambda_{ij} = f(E_{ij})$ ne sont pas tous nuls.
Soit $H= \{M \in M_n(\mathbb K); \quad f(M) = 0\}$. $H$ est un hyperplan de $M_n(\mathbb K)$.
1° Il existe $i \neq j$ tels que $\lambda_{ij} \ne 0$
On prend $M = I + t E_{ij}$ et on choisit $t \in \mathbb K$ pour que: $f(M) = f(I) + t \lambda_{ij} = 0$, ce qui est possible car $\lambda_{ij} \ne 0$.
$M$ est inversible, en fait $M^{-1} = I - tE_{ij}$.
2° $\lambda_{ij} = 0$ dès que $i \ne j$.
On a donc: $f(M) = \sum_{i=1}^n\lambda_{ii}a_{ii}$.
Il suffit de prendre pour $M$ une matrice de $GL_n(\mathbb K)$ dont la diagonale est nulle, par exemple une matrice de permutation.
Amicalement
Pappus

marinasulewski

un pappus peut-en casher un autre

http://en.wikipedia.org/wiki/Papus

Archimède

Il me semble que l'on s'est aussi intéressé sur ce forum aux $k\in\N$ tels que tout sous-espace vectoriel de dimension $k$ de $\mathcal{M}_n(K)$ rencontre $\mathrm{GL}_n(K)$.

nicolas.patrois

marinasulewski a écrit:

un pappus peut-en casher un autre

On parle du mathématicien ici, pas du charlot. :P

pappus

Un pappus casher? et pourquoi pas halal?
Pappus

skilveg

Archimède Écrivait:

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> Il me semble que l'on s'est aussi intéressé sur ce
> forum aux $k\in\N$ tels que tout sous-espace
> vectoriel de dimension $k$ de $\mathcal{M}_n(K)$
> rencontre $\mathrm{GL}_n(K)$.
Oui, mais tout ceci ne fait pas le lien avec la connexité... Il s'agit peut-être d'utiliser la connexité d'un certain sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\R)$, et deux matrices de ce groupe de part et d'autre de l'hyperplan?...

mt-i

Pour répondre à la question initiale, on peut effectivement obtenir le résultat annoncé en utilisant le fait qu'un hyperplan déconnecte $M_n(\R)$ (contrairement à ce qui se passe par exemple sur $\C$), même si comme le dit pappus le résultat vaut de manière bien plus générale.

Supposons en effet donné un hyperplan de $M_n(\R)$ ne contenant aucune matrice inversible, et soit $\varphi$ une forme linéaire le définissant, normalisée par $\varphi(I_n) = 1$.

Alors je dis que si $M$ est une matrice triangulaire supérieure stricte, on a $\varphi(M) = 0$. En effet, pour tout $t\in\R$, $\det(I_n + tM) = 1$. Ainsi $\varphi(I_n + tM)$ ne s'annule pour aucune valeur de $t$, donc reste par continuité toujours $> 0$. Il vient ainsi $1+t\varphi(M) > 0$ pour tout $t$, d'où le résultat en faisant tendre $t$ vers $\pm\infty$. De la même façon, $\varphi(M) = 0$ pour toute matrice triangulaire inférieure stricte. Mais alors si l'on appelle $A$ la matrice qui a des 0 sur la diagonale et des 1 ailleurs, qui est inversible dès que $n\geq 2$, on a par linéarité $\varphi(A) = 0$, d'où contradiction.

skilveg

Je ne vois pas bien où tu utilises la connexité de $\mathcal{M}_{n}(\R)$... Tu pourrais préciser?

AlainG

spriet Écrivait:

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> Il parrait qu'une application de la connexité est que
> "tout hyperplan de l'ensemble des matrices carrées de $R$ a au moins une matrice inversible"
> connaissez vous le lien entre connexité et cette question svp ?

Cette application est dans le livre d'Ivan Nourdin (page 14)

mt-i pas logué

skilveg Écrivait:

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> Je ne vois pas bien où tu utilises la connexité de
> $\mathcal{M}_{n}(\R)$... Tu pourrais préciser?

L'idée géométrique est que l'hyperplan sépare M_n(R) en deux composantes connexes, et donc que SL_n ou GL_n^+, qui sont connexes, doivent se trouver entièrement d'un côté ou de l'autre s'ils ne coupent pas l'hyperplan. Mais c'est impossible du fait que la limite entre les deux composantes de GL_n n'est pas du tout un hyperplan.

La preuve que j'indique est une façon de voir ça concrètement. On peut aussi dire quelque chose comme: il existe des matrices de SL_n de trace positive et négative, et toute forme linéaire sur M_n est essentiellement la trace.

pappus

Veux-tu dire la chose suivante?: Si $f$ est une forme linéaire sur $M_n(\mathbb K)$, il existe une (unique) matrice $A \in M_n(\mathbb K)$ dépendant évidemment de $f$ telle que pour toute matrice $X \in M_n(\mathbb K)$, on ait:
$f(X) = Trace(A.X)$
Amicalement
Pappus

spriet

"le livre d'Ivan Nourdin "

lequel ?

celui intitulé "agrégation épreuve orale" ??

merci

JPS

mt-i

Pappus: c'est bien ça. Comme tout ce qu'on veut imposer à X est le signe de son déterminant, on peut raisonner à équivalence près et donc choisir A=J_r; montrer alors que la forme linéaire prend des valeurs positives et négatives sur SL_n ou GL_n^+ est pédestre.

spriet

Archimède Écrivait:

---

> Il me semble que l'on s'est aussi intéressé sur ce
> forum aux $k\in\N$ tels que tout sous-espace
> vectoriel de dimension $k$ de $\mathcal{M}_n(K)$
> rencontre $\mathrm{GL}_n(K)$.


si vous avez un lien direct je suis preneur...

AlainG

spriet Écrivait:

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> "le livre d'Ivan Nourdin "
> lequel ?
> celui intitulé "agrégation épreuve orale" ??
> merci

Oui c'est bien ça.

Alban

On peut aussi régler la question initiale en se servant du fait que toute forme linaire est une trace $X \mapsto tr(AX)$, le problème revient alors à trouver $X$ inversible telle que $tr(AX)=0$.
On choisit de prendre $X$ sous la forme $X=PQ$ et alors il faut trouver $P$ et $Q$ inversibles telles $tr(QAP)=0$, ce qui se fait en pensant aux opérations lignes/colonnes.

skilveg

spriet Écrivait:

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> si vous avez un lien direct je suis preneur...

En fouillant un peu :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,389010,389050#msg-389050
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,368821,368821#msg-368821