Système de Hilbert-Ackermann

Bonjour,

Je continue de découvrir la théorie des ensembles et la logique, et au hasard de mes recherches je suis tombé sur le système de Hilbert-Ackermann que je trouve très élégant car très intuitif, surtout pour un débutant comme moi :

Axiome 1 : $(A \vee A) \Rightarrow A$
Axiome 2 : $A \Rightarrow (A \vee B)$
Axiome 3 : $(A \vee B) \Rightarrow (B \vee A)$
Axiome 4 : $(A \Rightarrow B) \Rightarrow ((A \vee C) \Rightarrow (B \vee C))$

Règle de substitution (S) : Si A(B) est une tautologie, alors A(C) est une tautologie quelque soit la proposition C (je ne suis pas bien sûr de l'énoncer correctement).
Règle du {\it modus ponens} (MP) : Des tautologies A et $A \Rightarrow B$, je peux déduire la tautologie B.

Je constate que le système de Hilbert-Ackermann n'utilise que les connecteurs logique $\vee$ et $\Rightarrow$. J'en déduis donc que les connecteurs $\neg$, $\wedge$ et $\Leftrightarrow$ doivent être définis à partir de $\vee$ et $\Rightarrow$. ça me paraît assez simple pour $\wedge$ et $\Leftrightarrow$ :

J'ai d'abord besoin de $\neg A \equiv ...$ et là je sèche,
ensuite j'ai $A \wedge B \equiv \neg (\neg A \vee \neg B)$,
dont je déduis $A \Leftrightarrow B \equiv (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)$

Bien sûr j'ai pensé à $\neg A \vee B \equiv A \Rightarrow B$, mais ça me semble plus être une définition de $\Rightarrow$ et je ne peux pas faire "disparaitre" $\vee B$ puisqu'il me faudrait une antilogie or je n'ai que des tautologies et pas $\neg$ que je cherche à définir... Qu'en penser ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements.

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Réponses

  • Bonjour Julio,

    Attention : le symbole $\neg$ n'est pas définissable à partir des autres symboles. En revanche, pour $\wedge$ et $\Leftrightarrow$, c'est le cas selon la métamathématique bourbakiste, tout comme les quantificateurs.

    Avec tout mon respect,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Il y a l'embarras du choix, il y a plein de manières équivalentes de procéder:

    en logique classique comme intuitionniste dans le style "époque Hilbert", il y a 2 constantes le vrai et le "tout"

    j'essaie de te proposer le truc le plus économique possible pour la logique classique!:

    $\neg A:=A\to tout$

    $A$ ou $B:=(A\to B)\to B$

    $A$ et $B:=\neg (A\to \neg B)$

    Les axiomes (valables pour toutes phrases à la place des lettres majuscules) étant:

    $A\to (B\to A)$

    $(A_1\to (B\to C))\to ((A_2\to B)\to (A_1\to (A_2\to C)))$

    $(A\to (A\to B))\to (A\to B)$

    $(\neg \neg A)\to A$

    J'ai idéologiquement déplié en 2 et rajouté le cloneur.

    Seule règle de déduction le modusponens
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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