Une inversion

trochoïde

Bonsoir

Soit ABCD un quadrilatère qui ne soit pas un trapèze. On suppose ABCD cocycliques et on note P, Q et R respectivement les intersections de (AB) et (CD), (AC) et (BD), (BC) et (AD).

A l'aide d'une inversion, on souhaite retrouver ABCD à partir de PQR.

Savez-vous comment procéder?

Amicalement, trochoïde.

Pappus0

Bonsoir trochoïde
1° On ne peut se donner les points P, Q, R arbitrairement.
2° Je te laisse méditer sur la figure suivante

trochoïde

Merci Pappus de t'intéresser au sujet.

Ce n'est pas un énoncé. C'est un thème de réflexion sur lequel on me dit de réfléchir avant un examen. (Qui en l'occurrence aura lieu demain)

Si je comprends bien ton dessin, les points A', B', C' et D' fournissent un autre quadrilatère donnant PQR comme triangle.

Donc en effet, il me manque des données (c'est logique, on ne va pas me donner l'énoncé complet...)

Mais peut-être as-tu tout de même une idée sur la manière de retrouver l'un des quadrilatères?

gb

Des histoires de pôles et de polaires...

trochoïde

Bonsoir gb.

J'imagine en effet que le but sera de retrouver le pôle de l'inversion. (Je ne comprends pas bien le terme "polaires" ici), mais il est vrai que je ne vois pas trop par où chercher.

Pappus0

Bonsoir Trochoïde
1° Effectivement le triangle $PQR$ n'est pas arbitraire. Il est autopolaire par rapport au cercle $\Gamma$ c'est à dire que chaque côté de ce triangle est la polaire du sommet opposé par rapport au cercle $\Gamma$.
Ceci se traduit par le fait que l'orthocentre du triangle $PQR$ est le centre $O$ du cercle $\Gamma$.
2° En ce qui concerne les inversions, j'en vois 4, celles au nombre de 3 de pôles $P$, $Q$, $R$ conservant le cercle $\Gamma$ et la quatrième qui est l'inversion par rapport au cercle $\Gamma$.
Si tu regardes les restrictions des 3 premières inversions au cercle $\Gamma$, elles engendrent un groupe commutatif d'ordre 4,, isomorphe au groupe de Klein. Tu conclus ensuite après avoir médité sur ma figure.
amicalement
Pappus

Bruno

Ah ces insomniaques qui ne laissent rien aux autres !

Bruno

Pappus0

Mon cher Bruno
Excuse moi mais c'est le bénéfice du grand âge!
J'espère que notre brave Trochoïde possède Cabri de façon à pouvoir animer le quadrilatère $ABCD$ quand les points $P$, $Q$, $R$ restent fixes!
Amicalement
Pappus

Lola pour Mr Pappus

Pardonnez-moi de faire intrusion sur ce fil, je viens au culot.
Monsieur Pappus, si vous vous y connaissez en géométrie euclidienne en dimension 3, auriez-vous l'amabilité svp de passer sur mon fil tétraèdre redirigé vers le forum analyse?
Il s'agit d'interpréter, simplifier un déterminant de trois vecteurs en dimension 3 notamment...
Je vous remercie par avance.
Lola

[Un message privé suffisait, Lola . Bruno]

stfj

Pappus0 a dit :

1° Effectivement le triangle $PQR$ n'est pas arbitraire. Il est autopolaire par rapport au cercle $\Gamma$ c'est à dire que chaque côté de ce triangle est la polaire du sommet opposé par rapport au cercle $\Gamma$.
Ceci se traduit par le fait que l'orthocentre du triangle $PQR$ est le centre $O$ du cercle $\Gamma$.

Bonjour. D'où vient cette dernière affirmation en gras? Je sais qu'une polaire d'un point est perpendiculaire à la droite joignant le point au centre. Tant mieux pour moi. Je médite, tu médites, elle médite...

stfj

1) On construit un cercle $\mathscr C$ de centre donné et de rayon donné;

2) On considère un point P arbitraire;

3) On construit classiquement un point Q sur la polaire de P wrt $\mathscr C$ qu'on fixe dorénavant;

4) Le point R est alors également fixé;

5) ABCD se construit à partir d'un point A arbitraire sur $\mathscr C$

https://www.geogebra.org/classic/hzkr6vs8

Je cherche quelques rappels utiles : j'ai trouvé ceci. Je suis un technicien, je médite le moins possible : je cherche des informations précises pour bien tourner mes boulons. Il y a une coquille au début de 3, où une foule de connaissances sont balancées. On trouve un exposé précis de ces connaissances dans Mathématiques pour le DEUG, Algèbre et géométrie, 2è année, chez DUNOD, 1999, chapitre 9-10-11, de Dominique Martinais et François Liret.