Est-ce un nombre premier ?

Bonjour,
en parlant avec quelqu'un hier, je me suis rendu compte de quelque chose. Je vous soumets le problème et vous donnerai la solution plus tard (si besoin est, mais nul doute que certains trouveront rapidement).

On note $p_n$ le n ième nombre premier. On a donc $p_1=2$, $p_2=3$, etc...

Voici la question: L'assertion suivante est-elle vraie ou fausse ?

$\forall n$, l'entier $p_1 \cdots p_n + 1$ est un nombre premier.

Bonne chance.

Réponses

  • cest le même chose que la preuve classique de l'infinité des nombres premiers, non?
  • Elle est fausse. cf Delahaye : "Merveilleux nombres premiers".
  • Non zer, la preuve classique dit que pour tout $n$ le nombre de Toto est divisible par un nombre premier supérieur à $p_n$, pas qu'il est lui-même premier.
  • Bravo à Sylvain et qg.

    Ma première réaction était de tester pour n=1,2 et 3. J'ai émis la conjecture qu'il était premier, donc j'ai essayé de le prouver. N'y arrivant pas, j'ai testé pour n=4 et 5 puis 6 et là, j'ai constaté l'égalité écrite par qg.
  • Maintenant, question ouverte: y a-t-il une infinité de ces nombres qui sont premiers ?
  • Oui : théorème de Dirichlet.

    edit : j'ai répondu un peu vite, ce n'est pas sûr que le théorème de Dirichlet implique qu'il existe une infinité de "nombres de Toto" premiers. Mais a priori je dirais qu'ils sont effectivement en nombre infini. Je cherche une démo.
  • Il semble que ce soit toujours des 2-libres, c'est curieux.
  • Bonsoir,

    La suite des nombres n tels que E_n = p1.p2....pn + 1 est un nombre premier. et une cofidence de Ribenboim

    En anglais le produit p1.p2....pn des n premiers nombres premiers s'appelle le "primorial" de pn; est-ce le même nom en français ?

    primorial prime avec une confidence de Ribenboim...

    E_n est le n_ième nombre d'Euclide.

    [ Edit: ne sais plus proposer de lien et écrire en Latex dans le même message, merci :S )
    Bonne soirée.

    [Pour écrire des liens avec LaTeX, regarde la FAQ (paragraphe LaTeX). :) AD]
  • Bonsoir bs,

    en français on parle de primorielle. Si la question est ouverte je vais éviter de me lancer là-dedans, j'ai déjà suffisamment à faire avec RH et Goldbach.
  • Merci Sylvain :)

    Eh oui, encore un os à ronger...

    Amicalement.
  • Il faudrait pouvoir démontrer qu'il existe n0 tel que pour tout n>n0 (ce qui est surement faux)

    $2^{p_1p_2...p_n}-1$ n'est pas divisible par $p_1p_2...p_n+1$
  • $2^{p_1p_2...p_n}-1$ est divisible sauf erreur par $2^P-1$ où P est le produit de k des $p_i$ où k<n
  • Bonjour,
    Sans être pessimiste, on ne sait déjà pas s'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $n^{2}+1$... je doute qu'il soit facile de prouver qu'il en existe une infinité de cette forme. En tout cas, ce serait un scoop.
    Par ailleurs, c'est bien le nombre qui intervient dans une démonstration classique sur l'infinitude des nombres premiers, démonstration proposée pour la première fois par Euclide.
    Christian
  • Grâce à bs, je découvre donc que le problème est bel encore non résolu.

    Christian Vassard: je ne vois pas vraiment en quoi le fait qu'on ne sache pas encore s'il y a une infinité de nombre premiers de la forme n^2+1 impliquerait que le problème que j'ai évoqué soit encore plus dur à résoudre. Ce sont deux énoncés différents.
  • Cher Toto.le.zéro,
    Je ne dis pas qu'il y a un lien, bien évidemment.
    Je dis simplement que pour quelque chose d'aussi "bête", et je ne dis pas çà péjorativement, que l'infinité de nombres premiers de la forme $n^2+1$ (par exemple), on n'a pas de réponse! Et on a pourtant cherché!
    Juste pour rappeler qu'en matière de formules contenant une infinité de nombres premiers, on n'a pas beaucoup avancé depuis le théorème de Dirichlet, qui affirme qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme an+b, lorsque a et b sont premiers entre eux.
    Alors pour $p_1...p_{n}+1$, il y a du boulot sûrement!
    Bien cordialement,
    Christian
  • Bonsoir,

    Toto, tu écris: "Grâce à bs, je découvre donc que le problème est bel encore non résolu"; certainement que tu voulais plutôt dire: "Grâce à Ribenboim, ..."

    Lu dans un livre: "...On ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $n^2+1$, s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne ou de Fermat...Signalons le très difficile résultat suivant, obtenu en 1997 par Friedlander et Iwaniec: il existe une infinité ce nombres premiers de la forme $a^2+b^4$ avec $a,b \in \N^*$,..."

    Amicalement.
  • Exact, Bernard.

    Je voudrais toutefois modérer le pessimisme de Christian V. lorsqu'il dit :

    {\it Juste pour rappeler qu'en matière de formules contenant une infinité de nombres premiers, on n'a pas beaucoup avancé depuis le théorème de Dirichlet}

    C'est à la fois vrai et faux.

    La question de savoir s'il existe d'autres suites moins denses contenant une infinité de nombres premiers n'est pas nouvelle, mais est toujours d'actualité. Bernard a rappelé ci-dessus le résultat de Friedlander et Iwaniec, dont la preuve repose sur un crible nouveau, et, en 2001, leur collègue Heath-Brown a montré qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $a^3+2b^3$.

    Dès les années 40-50, On a étudié d'autres suites pouvant être des candidats possibles. Par exemple, en 1953, Piatetski-Shapiro a étudié la répartition des nombres premiers dans la suite $[n^c]$ où $1 < c < c_0$ est un réel fixé. C'est suite peut être considérée comme une généralisation la plus simple des polynômes pour des degrés non entiers. Piatetski-Shapiro a montré qu'il y a une infinité de nombres premiers dans cette suite pour la valeur $c_0=12/11$. Si $c=2$, il n'y a aucun nombre premier dans cette suite, et on conjecture donc que $c_0=2$ est la borne supérieure correcte. Depuis une vingtaine d'années, des chercheurs, Français notamment (avec Joël Rivat, par exemple), ont travaillé là-dessus et on augmente petit à petit la valeur de $c_0$.

    Accessoirement, ce problème sert aussi à mesurer les progrès obtenus dans les sommes d'exponentielles.

    Bref, la recherche est active en ce domaine, même si les conjectures rappelées ci-dessus par Bernard résistent. Par exemple, on conjecture toujours qu'il n'existe qu'un nombre {\it fini} de nombres premiers de Fermat et qu'il existe un nombre {\it infini} de nombres premiers de Mersenne, mais l'espoir d'obtenir une démonstration est très faible.


    Borde.
  • Merci Borde, pour ces précisions que je ne connaissais pas.
    Nul doute que la recherche ne soit très active en ce domaine.
    Mon pessimisme est certes excessif, mais je voulais juste souligner que le problème est extrêmement ardu.
    Bien cordialement
    Christian
  • Il me semble que le polynôme $a^3+2b^3$ est irréductible, non ? On pourrait généraliser ainsi : soit $P\in\mathbb{Z}[X]$ un polynôme irréductible dont les coefficients sont premiers entre eux deux à deux. Alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme $P(n)$. Qu'en dites-vous ?
  • C'est faux ! Mais c'est une bonne idée il faut ajouter une hypothèse supplémentaire : il n'y a pas d'entier n divisant toutes les P(m) .

    PAr exemple X^2+X +2 est irréductible mais toujours prend des valeurs pair toujours aux entiers.

    Avec l'ypothèse supplémentaire c'est l'hypothèse H de Schinzel (en une variable) et ça se généralise.
  • Je m'excuse pour les fautes de français (mal réveillé ce matin )
  • Merci lolo pour ces compléments d'information.
  • Bonsoir,

    Je n'avais pas copié volontairement le paragraphe complet du livre auquel je faisais allusion, ( mais juste un ou deux extraits ), pour voir si l'auteur allait reconnaître sa prose :) et Olivier a fourni les compléments. C'est d'ailleurs la lecture d'un message de Christian qui m'a de suite propulsé vers Thèmes d'arithmétique.

    Amicalement.
  • Thèmes d'arithmétique est en effet un excellent bouquin qui fait partie de ma bibliothèque... mais que je n'ai pas encore eu le temps de lire en détail... malheureusement.
    Amicalement
    Christian
  • Salut à tous,

    Christian : tu as raison, le problème est plus qu'ardu !...

    Sylvain : oui, l'idée est bonne et a déjà été évoquée dans le passé. Comme le souligne Lolo, va voir l'hypothèse H de Schinzel et Sierpinski (elle est retranscrite par exemple dans le livre de De Koninck et Mercier : 1001 problèmes en théorie classique des nombres, Ellipses, 2004, page 14).

    Bernard : Il m'a semblé effectivement reconnaître quelques phrases. A noter que, pour des "raisons éditoriales", je n'ai pas pu mettre tous ce que je voulais y mettre dedans (par exemple, dans le théorème de Piatetski-Shapiro, on a des résultats un peu meilleurs si l'on se contente d'une minoration au lieu d'un équivalent...).


    Borde.
  • Au fait, pour quand le prochain :P
  • Salut Rémi,

    Disons que, déjà que j'ai eu du mal à en faire un !...:D


    Mais réjouissons-nous : notre ami Bruno ne va pas tarder à sortir le sien !...


    Borde.
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