La très grande désolation

euzenius

Bonsoir,

Voici un truc qui m'apparaît vrai mais je suis bien incapable de le démontrer et donc très très désolé.

Soit P un ensemble de nombres premiers impairs, fini et de cardinal supérieur ou égal à 2 (c'st trivialement vrai dans le cas infini).

Pour tout élément p de P on définit V_p comme l'ensemble des produits finis d'au moins deux éléments de P distincts de p (il contient tous les carrés et puissances supérieures des autres éléments).

Soit m un naturel on pose W_m,p = (2^m)p+V_p

Il me semble alors que l'intersection indexée par p dans P des W_m,p est vide, d'où le choix du titre : la désolation, le désert...

Je suis déjà incapable de le démontrer pour m=0 et P réduit à deux éléments...


Bon si l'on suppose que cette grande désolation est vraie (ne serait-ce que pour m=0) cela entraîne la conjecture de Bertrand Goldbach (c'est même assez simple) : tout nombre pair >= 8 est la somme deux premiers distincts.


Euzenius

Fin de partie

Dans W_m,p = (2^m)p+V_p qu'est ce que V_p?
le cardinal de l'ensemble v_p défini plus haut?

Sylvain

Je pense que W_m,p est un ensemble dont les éléments sont de la forme (2^m)p+x avec x dans V_p.

euzenius

Tout à fait sylvain ! Désolé pour le retard...

Tiens personne n'a fait la réflexion que le prénom de Goldbach n'est pas Bertrand... comme postulé !

Vous aurez remarqué que le truc est faux si on autorise des signes "-" : ainsi

3^3-5 = 5^2-3

Je me demande si ce machin de la très grande désolation ne s'étend pas pour les ensembles P où tous les premiers sont > 3 en introduisant le facteur 2^m .3^n en lieu et place de 2^m et donc des ensembles W_m,n,p = x.2^m.3^n.p+y.V_p dont l'intersection indexée par p dans P est alors vide (x et y sont +ou- 1).

Bonsoir.


Euzenius

euzenius

Bonsoir,


Alors on ne se bouscule plus au portillon ?

Bertrand c'est pour le postulat de Bertrand car si tout nombre pair s'écrit !

2n = p+q

p>q premiers distincts

cela signifie qu'il existe un premier p compris entre n et 2n

Non ?


Euzenius

Sylvain

"Bon si l'on suppose que cette grande désolation est vraie (ne serait-ce que pour m=0) cela entraîne la conjecture de Bertrand Goldbach (c'est même assez simple) : tout nombre pair >= 8 est la somme deux premiers distincts. "

Dit autrement : "tout entier >=4 admet un rayon de primalité typique";)

euzenius

Ben sans doute Sylvain...

Pour la démonstration de "Bertrand Goldbach" cela se fait en deux temps (dans le cas m=0) d'abord pour les nombres pairs double d'un nombre premier p>4. Puis ensuite pour tout nombre pair 2n>7 en prenant pour ensemble P celui constitué par les premiers p<n étrangers à n (P a alors au moins deux éléments ce que l'on déduit de la première partie de la démonstration).

Si tu as une idée pour démontrer "la très grande désolation" je te tire mon chapeau (j'ai trituré dans rous les sens les systèmes linéaires cardPxcardP que l'on peut extraire en supposant que l'intersection n'est pas vide - matrices à diagonale 1 et avec une seule autre valeur non nulle par ligne - en essayant d'aboutir à une contradiction, mais je piétine dès le cas cardP=2)

Bonne réflexion !


Euzenius

Sylvain

Tu peux toujours jeter un oeil à ce que qg77 et moi avons écrit dans la deuxième page du fil "le ruisseau doré coule toujours", ça peut t'intéresser.

DocteurRenard

Sylvain,
La conjecture des rayons de primalité existe depuis longtemps, elle porte les noms de deux mathématiciens américains que j'ai malheureusement oubliés : désolé ! Je l'ai lu sur wikipédia et j'ai bien pensé à toi et à ce site, mais je n'ai pas noté les noms : j'étais pressé et cherchais autre chose. Si je retrouve la page, je la poste illico !

euzenius

Bonsoir Sylvain,

Oui j'ai bien regardé ce que vous avez écrit dans la deuxième page du fil "le ruisseau..." mais je ne suis pas sûr que cela puisse s'appliquer à la Très Grande Désolation. Les rayons de primalité sont très connectés à la conjecture de Goldbach (et de plus pour n premier tu te contentes d'un rayon nul et par conséquent tu t'intéresses à n composé). Tu cherches en fait à évaluer le rayon de primalité pour en démontrer l'existence en montrant qu'il est bien inférieur à n-2 (je résume pardon).

La très grande désolation (qui est une conjecture pour le moment très très contestable, invérifiable vu l'infinité de chaque W_p ou alors on limite les vérifications), relève plus de l'impossibilité de certains types de systèmes linéaires cardPxcardP liant les "inconnues" (éléments de P). L'inexistence d'un rayon de primalité (non nul) induirait l'existence d'un ensemble P fini de nombres premiers et d'un systèmé linéaire liant P contredisant la très grande désolation, d'où l'existence a contrario d'un rayon de primalité.

Je ne vois pas comment, en supposant qu'il existerait malgré tout un système linéaire "impossible" pour un certain ensemble P, comment lier cela à un rayon de primalité d'un naturel n se déduisant de l'ensemble P. Désolé ! Cela n'enlève rien à la qualité de tes raisonnements concernant les rayons de primalité. C'est aussi une autre approche que celle de BOUZAR me semble-t-il même si ce dernier cherchait une voie via l'algèbre linéaire.

La très grande désolation relève (si elle est vraie) de la structure profonde et globale des entiers plus que de la rivière des décompositions d'un entier pair en somme de nombres premiers. C'est quelque chose qui m'a traversé l'esprit et m'a quelque peu surpris, d'où le besoin de l'exprimer sur ce forum et peut-être intéresser d'autres personnes. La formulation pourra peut-être ainsi en être améliorée ? Peut être est-elle vraie encore pour des ensembles de nombres impairs deux à deux premiers entre eux ? Je l'ignore !


Merci encore de votre attention.



Euzenius

euzenius

Bonjour,

J'ai dans un post daté de quelques mois évoqué une conjecture intitulée (par mézigue) Conjecture de la Grande Désolation (ou de la très grande désolation pour une extension rajoutant le facteur 2), laquelle entraine simplement celle de Goldbach. Elle faisait intervenir des ensembles P finis de nombres entiers premiers impairs de cardinal > 1. (Si un Modérateur peut faire le lien et veut bien cela pourrait aider les visiteurs, merci - je reste ignare...désolé)
[A ta demande, voici les discussions fusionnées. AD]

Dans le cas où card P = 2 elle revient à montrer que le problème p + q^m = q + p^n n'a pour solution que p+q = q+p.

Si l'on admet 2 parmi les nombres premiers on a aussi la solution 3^2 + 2 = 11 = 2^3 + 3 ce qui nous rappelle la conjecture de Catalan (démontrée en 2002 par Mihällescu). Donc (ouf ?) 2 a été viré.

On peut alors se tourner vers la conjecture de Pillai (voir par exemple wikipedia - conjecture de Catalan) qui dit que pour tout entier k le nombre de solutions p,q,n,m en entiers naturels tels que

p^n - q^m = k

est fini.

Cela permet de mieux espérer que k soit toujours différent de p-q (ce qui ne saurait être un argument en béton et encore moins une preuve), et au passage montre combien la résolution de la conjecture de la simple Désolation (card P = 2) a des chances d'être complexe (voir la preuve de Mihällescu et le fait que la conjecture de Pillai reste une conjecture).

Evidemment reste alors les cas card P > 2.

Pour redescendre vers des choses plus à la portée de tous, vous montrerez aisément que lorsque p et q sont des naturels premiers entre eux alors le problème "trouver u et v entiers naturels" tels que :

p + uq = w
vp + q = w

a pour seules solutions

u = kp+1 et v = kq+1 avec pour tout entier naturel k

(et alors uv-1 = kw).

A-t-on des relations équivalentes avec plus de deux nombres (premiers entre eux dans leur ensemble ? Deux à deux premiers entre eux ?)


Euzenius

euzenius

Suite...

P ensemble fini de card > 1 de nombres premiers > 2 peut, peut-être, être remplacé par :

1) des puissances entières de nombres premiers impairs
2) des entiers impairs > 1 deux à deux premiers entre eux
3) des entiers impairs > 1 premiers dans leur ensemble

Mais bon comme cela résiste déjà avec les nombres premiers impairs cela pourrait sembler présomptueux de vouloir élargir le truc avec des hypothèses moins contraignantes ! Mais on peut aussi dans ces cas élargis trouver des contre-exemples...

En tout cas on n'a pas forcément 0 < p - q < pⁿ - q^m : ainsi 0 < 47² - 3⁷ = 22 < 47 - 3 = 44

Y a-t-il des éléments de réponse quelque part ?
Euzenius

euzenius

Contrexemple tout bête :

13^3 - 3^7 = 13 - 3 = 10




Euzenius

euzenius

Bonjour,

Les relations :

2 + 3^2 = 3 + 2^3
3 + 3^3 = 5 + 5^2
3 +13^3 = 13 + 3^7

m'ont incité à reformuler la conjecture.
On considère un ensemble P fini de nombres entiers > 1 deux à deux premiers entre eux (donc card P > 1).
On considère alors l'ensemble U des nombres composés sur P (c'est à dire les produits finis d'au moins 2 éléments - pas nécessairement distincts - de P.
On s'intéresse alors aux sous-ensembles finis V (non vides) de U et l'on définit, pour tout élément p de P, W_p = {p+v / v élément de V}.
Plus spécifiquement on prendra ceux qui correspondent à la donnée d'un entier k tel que V soit l'ensemble des éléments de U inférieurs strictement à k.

Pour quelle valeurs de k l'intersection W de tous les W_p, p parcourant P, est-elle vide ?

Quand card P = 2, donc P = {p,q} p < q premiers entre eux, on démontre facilement que k=q² implique W est vide.

Cela est-il encore le cas quand card P > 2 ?

Peut-on, comme cela semble se vérifier avec la singularité des petits entiers, prendre k = q² +1 ?


La question peut sembler déconnectée de tout intérêt mais j'en reviens encore et toujours à des ensembles finis, de cardinal > 1, d'entiers impairs premiers p_1, p_2..., p_n, avec la donnée d'un entier k pour lequel W est vide.

S'il existe alors des entiers u_i > 1 et un entier K tels que p_i + u_i = K, alors forcément il existe un indice j tel que u_j soit ou premier ou bien composé et alors divisible par un nombre premier r étranger aux p_i (attention u_j s'il est premier n'est pas nécessairement étranger aux autres p_i, ni même à p_j, ou alors vous êtes un génie si vous le démontriez - vous démontreriez du même coup et accessoirement Goldbach...).


Bon pour clore ce post et pour ceux qui aiment s'amuser avec leur ordinateur, voici une formulation un peu plus forte de la conjecture de Goldbach forte :

Pour tout k > 6 il existe un nombre premier p verifiant :

2k-p est premier
3p+2 < 2k

Euzenius