Sup ( sigma(n) / n )

Bonjour à tous,

Une question (bête ? triviale ? ouverte ?) qui m'est passée par la tête.

Si un nombre n est parfait, il vérifie σ(n)/n = 2.
Il y a aussi des nombres abondants, pour lesquels σ(n)/n > 2.
Quelques tests sur les cent mille premiers entiers laissent penser que σ(n)/n aurait une sous-suite strictement croissante.

Connaît-on Sup(σ(n)/n) ?

Sait-on si ce sup est atteint ?

Existe-il en mathématiques des situations où cette question se pose naturellement ?

Merci.


[Edit : correction du titre :-(]

Réponses

  • Salut je crois me souvenir que le Tenenbaum parle "d'ordre extremal de fonctions arithmétiques"

    Mais je ne sais pas si ce titre recouvre ta question, c'est juste que ca aurait pu etre une définition de "ordre extremal"

    Bon, ma contribution n'est pas primordiale mais elle fera remonter ton message :)o
  • Le "donc" ne va pas il me semble. Ton argument ne tient pas.
  • Ca dépend ce qu'on entend par "majoration optimale" :)
  • qg77, tu es en première c'est ça ?

    lol toto tu t fé kc grav!!
  • Le terme "ordre extrémal" est celui que l'on donne effectivement maintenant dans la littérature.


    On note $\tau(n) = \sum_{d \mid n} 1$ le nombre de diviseurs de $n$ et $\varphi(n)$ le totient d'Euler. Pour d'autres inégalités, on a :

    $$\frac {\sigma(n)}{n} \leqslant \frac {n}{\varphi(n)}$$

    valide pour $n \geqslant 3$.

    $$\frac {\sigma(n)}{n} \leqslant 2,59790\dotsc \log \log (3 \tau(n))$$

    valide pour $n \geqslant 2$.

    $$\frac {\sigma(n)}{n} \leqslant e^{\gamma} \left \{ \log \log (e \tau(n)) + \log \log \log (e^e \tau(n)) \right \} + 0,941444079 \dotsc$$

    valide pour $n \geqslant 2$.


    A noter aussi que la majoration :

    $$\frac {\sigma(n)}{n} \leqslant 2,597 \log \log (3 \tau(n))$$

    est vérifiée pour tout entier $n \geqslant 2$ à l'exception de 12 nombres.

    Enfin, rappelons qu'HR équivaut à la majoration :

    $$\frac {\sigma(n)}{n} \leqslant e^{\gamma} \log \log n$$

    pour tout $n \geqslant 5041$ (Robin, 1984).


    Borde.
  • Super !

    Merci pour toutes ces précisions, tout cela est fort intéressant.

    Des références pour les cinq majorations (celle de qg77 et les 4 de Borde) ?
  • Pour celle de qg77, je lui laisse le soin de répoondre (mais je pencherais tout de même pour le Tenenbaum...).

    Celle de Robin est issue de l'article suivant :

    {\bf G. Robin}, {\it Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann}, J. Maths pures \& appliquées {\bf 63} (1984), 187--213.

    Pour les autres, tu peux consulter par exemple le preprint suivant : \lien{http://math.univ-lyon1.fr/\~{}nicolas/nark.pdf}


    Quelques remarques.

    1. Dans les années 1980, Robin \& Nicolas (entre autres) se sont employés à donner des estimations {\it effectives} de fonctions arithmétiques usuelles (essentiellement $\omega$, $\tau$ et $\sigma$). Les preuves reposent le plus souvent sur la notion {\it d'entier hautement composé}, notion initialement introduite par Ramanujan pour étudier les ordres extremaux de $\tau$.

    2. Il est suffisant de se souvenir que les majorations ci-dessus donnent dans la plupart des cas {\it le bon ordre de grandeur} de $\sigma(n)/n$.


    Borde.
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