Lemme de Dubois-Raymond

Bonjour,

qu'est-ce que le lemme de Dubois-Raymond en rapport avec les séries numériques ?

Merci.

Réponses

  • Bonjour,

    à ma connaissance, c'est l'énoncé suivant (se démontre par une transformation d'Abel) : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites numériques telles que $\Sigma a_n$ converge et $\Sigma (b_n-b_{n+1})$ converge absolument, alors $\Sigma a_nb_n$ converge.
  • Il peut être intéressant de sortir du cadre (assez strict) des critères de convergence de séries, pour disposer de la version de la sommation d'Abel très utile suivante :


    {\it Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de nombres complexes, où l'on suppose que, pour tous entiers $n > m \geqslant 0$, on ait :

    $$\sum_{k=m+1}^{n-1} \left |b_k - b_{k+1} \right | \leqslant V_{m,n}.$$

    Alors on a} :

    $$\left | \sum_{k=m+1}^{n} a_k b_k \right | \leqslant \left \{ 2 \max \left ( |b_{m+1}|,|b_n| \right ) + V_{m,n} \right \} \max_{m \leqslant k \leqslant n} \left | \sum_{j=m}^{k} a_j \right |.$$

    $V_{m,n}$ s'appelle la variation totale de la suite $(b_n)$ (sur $]m,n]$).

    {\bf Preuve}. On note $s_k = \sum_{j=m}^{k} a_j$. On a :

    $$\sum_{k=m+1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=m+1}^{n} (s_k - s_{k-1} ) b_k = -b_{m+1}s_m + \sum_{k=m+1}^{n-1} (b_k - b_{k+1})s_k + b_n s_n$$

    d'où le résultat en passant aux modules.


    On déduit du résultat précédent que, si $(b_n)$ est une suite monotone de nombres réels strictement positifs, alors on a :


    $$\left | \sum_{k=m+1}^{n} a_k b_k \right | \leqslant 2 \max \left ( b_{m+1},b_n \right ) \max_{m \leqslant k \leqslant n} \left | \sum_{j=m}^{k} a_j \right |.$$


    Borde.
  • Merci pour vos réponses. Je ne savais pas que ce critère portait ce nom.

    borde: qu'est-ce que $V_{m,n}$ ?

    Tant qu'à faire je continue: savez-vous ce qu'est le ( trèsmystérieux) théorème de Balagner-Colominas en analyse dont parlent certains rapports du jury d'agreg ?
  • Le très mystérieux théorème de Balagner-Colominas ressemble fort à un canular.
  • Les membres du jury ont beaucoup d'humour. Au moins ils peuvent constater qu'on lit leurs rapports :)
  • Toto,

    $V_{m,n}$ est un majorant de la somme $\sum_{m < k \leqslant n-1} |b_k - b_{k+1}|$.


    Borde.
  • De rien, Toto.

    A +

    Borde.
  • Bonsoir,

    Toto, es-tu certain de l'orthographe de Balagner-Colominas, dans le rapport du jury d'agrégation ???

    Notre dévoué Aleg avait rappelé les références d'un théorème qui lui ressemble fortement, phonétiquement parlant, dans ce fil ici ;)

    Amicalement.
  • Je suis sûr et certain de l'orthographe. Il y a eu donc une coquille dans le rapport ? Ce qui serait très curieux pour une coquille aussi grosse.

    Merci du lien, c'est très intéressant.
  • Ah, mais je proteste ! Balaguer & Corominas (les vrais) n'ont rien à voir avec Balagner & Colominas (les faux)....
  • Mais qui sont ces imposteurs alors ? :D
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