1000 barbus contre 997 raseurs

Bonjour tout le monde,

Ce message est mon millième. Son titre un peu délirant fait allusion au fait que j'ai, il y a plus d'un an, changé de pseudo afin de conserver préciseusement ce millième message pour la fois où j'aurais quelque chose d'intéressant à dire (les pièces à conviction de cette sombre affaire sont ici et ). Ce cas de figure ne s'est hélas jamais produit, et je me retrouve avec 997 messages au compteur pour mon second pseudo. Drame.

Alors bon, plutôt que de me créer un troisième compte, je consomme ce 1000e message pour vous proposer une petite énigme toute bête, dont la résolution fait appel à un grain de mathématiques, un brin d'astuce, et un soupçon de mauvaise foi. Si vous la connaissez (et la reconnaissez), laissez un peu chercher les autres avant de donner la solution :).
Enigme a écrit:
Le roi Arthur convoque la table ronde : il a une annonce à faire.
. En effet, le roi doit s'absenter de Camaaloth pendant quelques semaines. Il va donc devoir désigner un leader charismatique temporaire parmi les 8 chevaliers qui sont alors présents pour que ce dernier gère les affaires du royaume en son absence.
. Pour ne pas faire d'erreur, Arthur préfère s'en remettre au jugement de Dieu, et donc désigner son remplacant temporaire totalement au hasard, par un procédé aléatoire qui permette à chacun des 8 chevaliers d'avoir exactement 1 chance sur 8 d'être choisi.
. Mais comment faire ? Le roi en est là de ses réflexions quand il avise au beau milieu de la table un dé (un brave dé de 6). Ce dé a certainement été oublié par quelques garnements qui auront joué au Pérudo toute la nuit sur la table ronde (bien qu'un peu myope, le roi reconnaît ce dé, il sait qu'il n'est pas pipé). Super, se dit le roi, je vais utiliser ce dé pour choisir mon homme au hasard.

=> la question est la suivante :
a) est-t-il effectivement possible pour Arthur de choisir un chevalier au hasard, en étant certain de laisser 1 chance sur 8 à tous, à l'aide de ce seul dé et en un nombre fini de lancers ?
b) si oui, quel est le nombre minimal de lancers qui lui seront nécessaires ?

Si ça tente quelqu'un de chercher, j'interviendrai volontiers sur le fil pour donner des précisions si la question n'est pas claire, et également pour confirmer que quelqu'un a donné la bonne réponse si elle est donnée.


PS : Je ne suis pas opposé à un déplacement de ce message (j'ai hésité à poster dans le fil des problèmes en série).

Réponses

  • a) La réponse est oui. J'ai une méthode, mais comme l'énigme vient d'être posée, je ne vais pas détailler tout de suite.

    b) Avec ma méthode, il faut presque sûrement un nombre fini de lancers, mais ce nombre est non borné (bien que la proba d'avoir besoin de "beaucoup" de lancers soit faible). Il doit donc y avoir plus astucieux.
  • Je ne sais pas si ma solution est correcte vu qu'il n'y a pas trop de mauvaise foi :)

    Je cache ma réponse en la mettant en blanc, sélectionnez pour voir :



    \textcolor{white}{Je remarque que $6^3=216$ est un multiple de 8. Il suffit de repartir les 216 combinaisons aux 8 chevaliers, puis de lancer 3 fois le dé et de regarder a qui "appartient" la combinaison gagnante....}

    Donc j'y arrive en 3 lancer, mais j'imagine qu'il y a une astuce pour faire mieux :)
  • Ah ouais, c'est déjà mieux que moi...
  • Bon, je n'arrive pas a cacher ma reponse avec le latex activé.... Desolé !
  • En 3 coups : On attribue les nombres pairs à 4 chevaliers, et les nombres impairs aux autres, on a donc éliminé 4 chevaliers au 1er coup. on recommence, on en élimine 2 au second, puis on choisi au 3éme.
  • Très bien vu Jobherzt, effectivement, on peut le faire en trois lancers.

    Mais ça n'est pas le minimum !!

    ;)


    Edit : Bien vu dido aussi. En fait, tu dis la même chose que Jobherzt (j'imagine que ce message n'était pas encore apparu lorsque tu as posté) mais en détaillant un protocole de selection.
  • Minimum en 2, max en 3 en attribuant au second tour les 1 2 3 et 4 et le 5 à deux chevaliers, le 6 aux deux autres (si 5 ou 6 tombe, il faut faire un 3eme tour)
  • Oui, mais comme tu dis cela reste 3 dans le pire des cas.

    Quelqu'un pour 2 coups (ou moins) même dans le pire des cas ?
  • Moins ca me semble difficile, sauf si c'est la que la mauvaise foi intervient :)

    En 2 peut etre, y a t il une astuce simple ou est ce un protocole compliqué du meme genre que pour les histoires de pesée et de pieces d'or ?
  • Je l'ai dit : il y a un peu de maths, un peu d'astuce, un peu de mauvaise foi.

    Pour l'instant on n'a utilisé que les maths. Même sans la mauvaise foi, avec seulement de l'astuce, on peut faire mieux :)


    Est-ce compliqué ? Pas quand on connaît déjà la réponse :D
  • Est-ce que l'on a le droit de demander aux chevaliers de choisir un nombre ?
    Autrement, est-ce que Arthur peut prendre la position du dé tel qu'il le trouve comme un premier tirage "gratuit" ?
    Encore une autre arnaque possible, est-ce qu'Arthur peut utiliser comme résultat du tirage non seulement la face du dessus, mais également la face latérale tournée face à lui ?
  • On peut faire ce qu'on veut du moment qu'on me propose une procédure qui permet de sélectionner un chevalier en laissant une chance sur huit à chacun et qui n'utilise que le dé (et l'intelligence d'Arthur).

    Donc, Jean-Louis, en combinant tes propositions valables, tu trouves...?
  • Zéro ? Factorielle zéro ? (:D

    Précise quand même un peu ça !
  • Zéro, car il y a $6 \times 4 = 24$ configurations de dés possible, en comptant la face supérieure et la face latérale face à lui. Il y a une probabilité nulle que le dé soit tourné pile à 45 degrés de sorte qu'on ne saurait pas déterminer la face latérale. $24 = 3 \times 8$ donc Arthur attribue 3 configurations à chaque chevalier avant de regarder la configuration exacte du dé posé sur la table. B-)-
  • Un dernier message pour clore ce fil.
    Il y a une probabilité nulle que le dé soit tourné pile à 45 degrés de sorte qu'on ne saurait pas déterminer la face latérale.

    En fait, ça n'a aucune importance, Arthur peut très bien décider à l'avance que, dans une telle configuration, il regardera la face de gauche.



    Encore une fois, bravo à Jean-Louis pour sa perspicacité !!! :D
  • Je comrpend mieux, du coup :

    maths -> 3 coups
    meme methode avec de l'astuce -> 1 coup
    mauvaise foi -> 0 coups :)

    Description fort pertinente, bravo barbu !
  • Jobherzt a écrit:
    maths -> 3 coups
    meme methode avec de l'astuce -> 1 coup
    mauvaise foi -> 0 coups

    Exactement : je pensais que le 1 coup serait trouvé avant le 0, mais Jean-Louis a été trop fort... :P
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