Suite exacte et intégration

Eric Chopin

Salut,

Ma question paraitra sans doute triviale à certains, mais je cherche à étendre le genre d'égalité suivante (et mes neurones commencent à fatiguer... ;-) ) :
$$\int_G f(g)\mathrm dg = \int_{H\backslash G} \mathrm dg'\int_H \mathrm dh f(g'h)$$
où $G$ est un groupe localement compact (pas abélien) et $H$ normal.
Si on a une suite exacte
$$\xymatrix {0\ar[r]& A \ar[r] & B \ar[r] & C \ar[r] & 0 }$$
avec $A,B,C$ des groupes localement compacts, peut-on toujours décomposer $\int_B f(g)\mathrm dg$ en intégrales successives sur $C$ et sur $A$, d'une façon similaire ?

Merci d'avance,
eric

(merci pour le latex Alain ! ;-) )

Ga?

Bonjour,

Juste quelques petites questions, pour comprendre :

1) C'est quoi $H\backslash G$ ?

2) Si on a une suite exacte
\begin{center}
$\displaystyle \xymatrix {0\ar[r]& A \ar[r] & B \ar[r] & C \ar[r] & 0 }$
\end{center}
alors $A$ (ou plus exactement son image) est un sous-groupe normal de $B$, n'est-il pas ?

Cordialement.

Eric Chopin

Salut Ga?

$H\backslash G$ est simplement le quotient à gauche. Comme $H$ est normal j'aurais pu écrire $G/H$ mais dans l'intégrale j'aurais dû permuter $g'$ et $h$ (je prends cette convention d'écriture car travaillant sur des représentations induites où l'action se fait a droite les quotients sont souvent écrits dans ce sens).

Tu as raison, je n'avais pas les yeux en face des trous, on a en effet la projection $\pi$ de $B$ sur $C$ qui induit un isomorphisme de $B/\ker(\pi)$ sur $\mathrm{im\,}(\pi)$ et comme $\mathrm{im\,}(\pi) = C$ et $\ker(\pi) =A$ (qui est normal), on a bien $C$ isomorphe à $A\backslash B$, ce qui me ramène à ce que je connais...

Merci !
eric

Ga?

Encore une question : Si $g'$ se promène dans le groupe quotient $G/H$ ou $H\backslash G$, qu'est-ce que c'est que $g'h$ ?

Cordialement.

Eric Chopin

Arghhh j'ai encore raconté une anerie. $g'h$ dans ce que j'ai dit
plus haut serait le translaté de la classe alors qu'il s'agit bien
de $hg'$ ou $g'$ est un représentant d'une classe choisi sur une
section arbitraire du fibré $G$ au dessus de $H\backslash G$.

On a en effet $g' \mapsto \int_H \mathrm dh f(hg')$
qui est une fonction de classe sur $H\backslash G$
de sorte que l'integrale

$$\int_{H\backslash G} \mathrm dg'\int_H \mathrm dh f(hg')$$
a un sens et coincide avec $\int_G f(g)\mathrm dg$
quand $f$ est suffisamment sympa.

J'espere que c'est moins confus maintenant (ce ne sont que des choses
tres connues, juste tres mal retranscrites par moi,
passé une certaine heure je ne suis plus tres fiable ... ;-) )

A+

eric