sur les points intermédiaires dans le TAF

borde

Bonjour,

Il y a bien longtemps que je n'avais envoyé de message sur le forum.


L'objet de celui-ci est purement culturel, et son niveau ne dépasse pas les connaissances d'un bac + 2.

Le point de départ est le suivant : comme chacun le sait, si $I$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $f$ dérivable sur $I$ et $a \in I$, alors, pour tout $x \in I$, le théorème des accroissements finis implique l'existence d'un réel $\xi = \xi(x) \in I$, strictement compris entre $a$ et $x$, tel que :
$$f(x) = f(a) + (x-a) f'(\xi).$$

On peut se poser la question du comportement asymptotique de ce nombre $\xi(x)$ lorsque $x \rightarrow a$. Certains collègues connaissent sans doute des résultats de ce type, dont on pourra trouver la teneur et des références dans l'article qui suit.


Bonne lecture,


Borde.


Référence : \lien{http://www.mia-journal.com/files/jmi/2-2/full/jmi-02-15.pdf}

Archimède

Il faut évidemment supposer $x\not= a$...

Dustblazer2525

Bonjour borde
Le problème est que l'on a peut-être plusieurs valeurs pour $\xi\left( x\right) $
donc on a une relation $\xi \;R\;\xi \left( x\right) $ et pas une fonction $\xi \;\longmapsto \;\xi \left( x\right) $ (en général)
Cordialement

Archimède

Pour chaque $x\in I$ on choisit un $\xi(x)$ qui convient (axiome de choix).

Dustblazer2525

Bonjour
D'accord avec Archimède mais quid de la continuité ou de la monotonie
d'une telle fonction ?
Cordialement

Eric Lafosse

On pourrait,puisque l'on ne peut parler de fonction, parler d'une représentation graphique, à savoir l'ensemble des points (x;y) tels que
f(x)=f(a) + (x-a) f'(y)
et se poser la question : quel est cet ensemble ?
Pour une fonction affine, c'est le plan, mais ensuite ?

Ben

Déja, si le c du théorème des accroissements finis est entre a et x, lorsque x tend vers a, par encadrement, c aussi (ou alors j'ai mal compris la question). Par contre, si l'on impose de prendre le plus petit des c(x) convenant pour un x donné, cela évite l'axiome du choix (la chose à vérifier est qu'on peut effectivement parler de ce plus petit !) la fonction x -> c(x) est mesurable.

Par contre, chez moi, j'ai un souci pour accéder au pdf ...

le funeste

Bonjour,

A ce propos, et à un niveau plus élémentaire, il y a un bel exercice (un beau TD plus précisément) dans le livre "Mathématiques supérieures - Analyse" de Moisan-Chanet-Delmas-Tosel :

dans le chapitre "fonctions réelles ou complexes...", le premier TD (page 126 dans mon édition).

borde

Un grand merci à tous les participants de ce fil qui n'avait d'autre but que de lancer un débat.

Ben, chez moi, le lien fonctionne.


Borde.