fonctions de Rademacher

Bonjour,

Pour $u \in [0,1]$ on définit la fonction de Rademacher par $R_n(u)=signe\left(\sin(2^n\pi u)\right)$.

On munit $[0,1]$ de la mesure de Lebesgue. Je me demande comment prouver qu'on peut ou qu'on ne peut pas reconstruire presque tout $u$ avec les $R_n(u)$, $n \in \mathbb{N}$ ?

Réponses

  • Si $u=\sum_{k=0}^{+\infty} x_k(u) 2^{-(k+1)}$ avec $x_k(u)\in\{0,1\}$, alors

    $R_k(u)=1-2 x_k(u)$ si $u$ n'est pas de la forme $C 2^{-n}$ avec $C$ entier.

    Si on montre l'unicité du développement en base de 2 pour les réels qui ne sont pas de la forme $C 2^{-n}$ avec $C$ entier, on a fini car les réels qui sont de la forme $C 2^{-n}$ avec $C$ entier forment un ensemble dénombrable qui ne charge donc pas la mesure de Lebesgue.
  • Je vois, merci alea.
  • Bonjour.

    Notre enseignant (en master) nous a aussi défini les fonctions de Rademacher comme Rn(u) = signe((sin(2^n)u) en précisant donc qu'elle ne formaient pas une base de L²[0,1].

    Mais sur wikipédia il est écrit que "fonctions de Rademacher" est synonyme de "système de Haar".
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Ondelette_de_Haar

    Est ce que wikipédia ce trompe ici? C'est toujours possible mais c'est assez rare en mathématique c'est pourquoi je préfère vérifier.
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