Image d'un triangle

Bonjour, je pensais avoir une solution, mais que nenni.
Quelqu'un aura peut-être une idée brillante.

J'ai quatre points $A$, $B$, $C$ et $C'$.
Je cherche une transformation de l'espace qui laisse invariant les points $A$ et $B$, telle que l'image de $C$ soit $C'$ et qui transforme un cercle en cercle.

J'ai pensé à l'inversion $i$ de centre $\Omega$ et de rapport $k$ avec :
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AB]$;
$k=\Omega A^2$.

Je définis ainsi ma sphère d'inversion de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{k}=\Omega A$.

Les points $\Omega$, $C$ et $C'$ doivent être alignés. Si j'ajoute cette condition (je n'ai plus de degré de liberté sur $\Omega$ qui est à l'intersection de la droite $(CC')$ et du plan médiateur de $[AB]$), je n'ai plus :
$$ \overrightarrow{\Omega C'} \bullet \overrightarrow{\Omega C} =k$$

Si quelqu'un a une solution à ce problème, je suis preneur.

Lionel

Réponses

  • cherche ta transformation de la forme f(z)=(z+a)/(bz+c) c'est une homographie qui transforme droite ou cercle en droite ou cercle
  • z -> (z+a)/(bz+c) transformation de l'espace?

    Cordialement,

    ************************

    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?
  • J'ai essaye avec une transformation projective (j'ai 15 inconnues et 12 équations), j'ajoute que le determinant de la matrice vaut 1.
    C'est bon pour les points, mais je perds mes cercles : ils deviennent des coniques.
  • Si la transformation que vous cherchez est affine et si elle transforme un cercle en un cercle, alors c'est une similitude affine.
    Comme il y a 2 points fixes, le rapport de similitude est égal à 1 donc c'est une isométrie.
    L'isométrie laisse fixes $A,B$ distincts, donc c'est l'identité ou la symétrie orthogonale par rapport à la droite $(AB)$...
  • Voici une solution si l'on se place dans un plan euclidien.
    Supposons que l'on cherche une homographie (le plan $\R^2$ étant identifié à $\C$).
    On est dans l'espace projectif complexe de dimension 1, donc $(A,B,C)$ et $(A,B,C')$ sont des repères projectifs. Il existe donc une homographie $h$ et une seule telle que $h(A)=A$, $h(B)=B$, $h(C)=C'$.

    De même il existe une transformation circulaire indirecte $k$ (composée d'une homographie et de la conjugaison) et une seule telle que $k(A)=A$, $k(B)=B$, $k(C)=C'$.

    Finalement, il existe exactement 2 transformations circulaires qui conviennent, l'une directe, l'autre indirecte.
  • La transformation n'est pas une isométrie puisque on n' a pas $AC$=$AC'$.

    Je m'autorise les transformations projectives et l'inversion et même des transformations tordues.
  • Une façon de faire, qui donne du sens à l'intervention de moi020:

    On peut supposer les quatre points coplanaires. S'ils ne le sont pas, ils sont sur une sphère que l'on peut transformer en plan par une inversion.

    Dans le plan, il existe une unique homographie qui laisse fixe A et B et envoie C sur C'. Une homographie du plan est un produit d'inversions du plan et se prolonge à un produit d'inversions de l'espace.

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    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?
  • Je vais regarder, en transformant la sphère contenant les points $A$, $B$, $C$ et $C'$ en un plan.

    Pour l'homographie plane, c'est facile. Et j'utilise à nouveau l'inversion précédente.

    Cependant, je reste dubitatif sur l'extension du l'homographie plane a l'espace. Je suis obligé de la considérer puisque les 3 points $A$, $B$ et $C$ sont sur un tore et sont reliés entre eux par des arcs de cercles (méridiens, parallèle, Villarceau).
    Je verrai demain avec les idees plus claires.
  • lionel21 a écrit:
    Cependant, je reste dubitatif sur l'extension du l'homographie plane a l'espace

    Tu n'es pas d'accord que :
    1) une homographie est un produit d'inversions,
    2) une inversion du plan se prolonge en une inversion de l'espace ?

    Cordialement,
  • D'après ce que j'ai vu dans mon dictionnaire de math, une homographie complexe est la composée d'une inversion et d'une similitude. Par exemple, $z\mapsto \displaystyle \frac{1}{z}$ est la composée de l'inversion $z\mapsto \displaystyle \frac{1}{\bar{z}}$ avec la reflexion d'axe l'axe des réels.

    Pour l'inversion, aucun problème pour passer du plan à l'espace. La question que je me pose est le prolongement de la similitude :
    - si on a une rotation plane, il serait naturel de prendre l'axe de rotation perpendiculaire à notre plan
    - si on a une reflexion d'axe $\Delta$, l serait naturel de prendre le plan se symétrie perpendiculaire à notre plan
    - si on a une translation de vecteur $\overrightarrow{u}(x,y)$, il serait naturel de prendre $\overrightarrow{u}(x,y,0)$.
    - le coefficient de la similitude serait le même.

    J'en profite pour poser une question de terme : d'après ce que j'ai lu dans mon dico, une application projective est une application entre deux espaces projectifs (dont l'inversion).
    Comment s'appelle une application projective linéaire (j'ai lu dans un article d'un anglais qu'une application projective s'écrivait sous forme de matrice).
  • Bon alors je précise.

    1) J'englobe les symétries orthogonales par rapport à une droite dans les inversions. Ce n'est sans doute pas conforme à la tradition, mais il est facile de voir pourquoi c'est naturel : si C est un cercle et D la droite image de C par une inversion i de centre sur C, alors la conjuguée (la transmuée, comme on disait dans le temps) par i de l'inversion par rapport à C est la symétrie orthogonale par rapport à D. En fait, je considère le plan complété par un point à l'infini (la sphère de Riemann) et les cercles de ce plan sont les cercles usuels et les droites (complétés par le point à l'infini); une inversion (positive) est une réflexion par rapport à un cercle de la sphère de Riemann.

    2) Une similitude directe est la composée d'une rotation et d'une homothétie (qu'on peut prendre de rapport >0, quitte à ajouter un demi-tour à la rotation). Une homothétie de rapport >0 est le produit de deux inversions par rapport à des cercles. Une rotation est le produit de deux réflexions, que je range dans la catégorie des inversions. Morale : une homographie est bien une composée d'inversions, ou une composée d'inversions et de réflexions par rapport à des droites si tu préfères.

    3) Une inversion du plan s'étend en une inversion de l'espace. Si c'est une "vraie" inversion, pas de problème; si c'est une réflexion par rapport à une droite, pas de problème non plus pour l'étendre en une réflexion par rapport à un plan.

    Alors, ça va mieux?

    Pour ta question:
    lionel21 a écrit:
    d'après ce que j'ai lu dans mon dico, une application projective est une application entre deux espaces projectifs (dont l'inversion).
    Comment s'appelle une application projective linéaire (j'ai lu dans un article d'un anglais qu'une application projective s'écrivait sous forme de matrice).

    Mon premier conseil est : procure-toi un vrai livre de géométrie (par exemple le livre de M. Audin). Un dictionnaire mathématique, c'est un peu juste. Une inversion n'est pas une application projective. Une application projective s'appelle plus couramment une homographie, même si on utilise souvent ce mot pour désigner les homographies de la droite. Toute homographie provient d'un isomorphisme linéaire (d'une matrice inversible, disons). Dans le cas de la droite, la matrice
    ( a b )
    ( c d )
    donne l'homographie z -> (az+b)/cz+d). De même toute homographie de l'espace projectif de dimension n provient d'une matrice inversible de taille n+1, et deux matrices donnent la même homographie si et seulement si l'une est multiple de l'autre par un scalaire non nul. Toute homographie est donc "linéaire" dans ce sens. Je n'irai pas plus loin et je renouvelle mon conseil : consulte un livre sérieux! (ou à défaut ce texte :
  • Après mûres réflexions et quelques discussions avec un collègue, j'ai trouvé mon erreur :
    $z \mapsto f(z)=\frac{1}{z}$ définit une homographie et donc une application projective.
    Mais, on a $$ f(z)=\overline{\Big( \frac{1}{\overline{z}} \Big)}$$
    c'est à dire que $f = s \circ i$, $f$ définit une application projective, $s$ une réflexion par rapport à l'axe des abscisses et $i$ une inversion. Comme $s$ est une involution, on a $s \circ f = i$ ce qui fait que $i$ serait une application projective comme composée de deux applications projectives.
    Mais {\bf que nenni !!!}. J'ai essayé d'écrire $s$ sous la forme d'une homographie complexe et ça ne marche bien qu'en tant qu'application du plan réel, $s$ est une application affine et induit donc une application projective !!!

    De plus, mon collègue appelle le plan complexe la droite complexe, et il m'a convaincu puisque en fait, quand on écrit $z=x + \imath y$, on n'a qu'une seule variable $z$.
  • Bonjour Lionel.

    Je devrais laisser Ga? te répondre, tu es en de bonnes mains avec lui ;).

    Bon, essayons de mettre un peu d'ordre là-dedans ; le "plan complexe" est un plan vectoriel {\it euclidien} caractérisé par la forme quadratique~$z \longmapsto z\bar z$. La droite affine complexe, c'est effectivement~$\C$ qui, comme tout corps a une structure canonique de droite affine le vecteur~$\overrightarrow{z_1z_2}$ étant défini par~$z_2 - z_1$, c'est même la source de cette notation~$\overrightarrow{MN} = N - M$.

    Le plan complexe et la droite affine complexe ont un même support mais sont à distinguer très soigneusement. D'ailleurs ils n'ont pas le même complété projectif, le complété du premier est un plan projectif réel homéomorphe à la surface de Boyd tandis que le complété du second est une droite projective homéomorphe à la sphère.

    Bruno
  • Merci beaucoup Bruno pour ces lumières. Je me doutais bien que tu surveillais ce fil.;)

    Encore une question. Je pars de l'espace affine euclidien réel usuel, que je peux completer en espace projectif (pour cause de tore, de cyclide et surtout de supercyclide, image d'une cyclide de Dupin par une application projective.)

    Je peux transformer mes points de ma sphère en un plan, que je peux identifier au plan complexe. Je n'ai donc pas le droit de prendre les homographies sous la forme :
    $$\frac{az+b}{cz+d}$$
  • Je ne comprends pas bien, mais les homographies que tu indiques sont des homographies d'une droite projective, pas d'un plan.

    Bruno

    (Je reste vague dans la mesure où je ne comprends pas :?.)
  • En fait, le probleme de depart (c'est mon premier post) est de trouver une application projective de la fermeture projective de l'espace affine usuelle dans lui même, qui laisse globalement invariant deux points $A$ et $B$ et qui envoie un point $C$ sur un point $C'$ et qui transforme un cercle en cercle (ou en droite).
    J'ai un cercle qui passe par $A$ et $B$, un par $A$ et $C$ et un par $B$ et $C$ et je veux que les images de ces cercles soient des cercles. Je m'autorise aussi une inversion composée avec une application projective.

    On m'a suggere les homographies de la forme $$\frac{az-b}{cz+d}$$
  • Une application d'un espace projectif réel dans lui-même est projective si, et seulement si elle transforme toute droite en une droite. Ergo une inversion de l'espace n'est pas une transformation projective.

    Maintenant une transformation projective de l'espace qui conserve une paire de points et qui transforme tout cercle en un cercle transforme toute sphère en une sphère (tu as parlé d'espace usuel, donc je le suppose de dimension 3) et donc une telle transformation doit conserver la paire de points {A,B} donc elle conserve la droite (AB) et l'ombilic, donc la plan de l'infini donc c'est nécessairement une similitude (conservation de l'ombilic) dont le centre est sur la droite.

    Bruno

    P.S. Je ferme :-(
  • Bonsoir Lionel,

    Il y a quelquechose que j'ai du mal à saisir. Pourquoi complètes-tu l'espace euclidien usuel (disons $\mathbb{R}^3$) en l'espace projectif $P^3(\mathbb{R})$, si tu veux considérer des inversions? Comment fais-tu pour prolonger une inversion à $P^3(\mathbb{R})$?
    Il me semble que si l'on veut étendre des inversions, la manière raisonnable de compléter $\mathbb{R}^3$ est d'ajouter UN SEUL point à l'infini : on obtient ainsi la sphère $S^3$. Si on veut, on peut réaliser ça par l'inverse de la projection stéréographique, qui envoie $\mathbb{R}^3$ sur $S^3$ privée d'un pole (qui joue le rôle de point à l'infini), le tout se passant dans $\mathbb{R}^4$.
    Les transformations agissant naturellement sur $S^3$ forment le groupe de Möbius, engendré par les inversions (par rapport à des plans ou des sphères). Elles préservent les cercles-et-droites. On peut voir
    \lien{http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation\_de\_Möbius}

    Pour ce qui est de ton problème de départ, je t'ai proposé une solution. Je garantis qu'elle marche. Je n'arrive pas à comprendre si tu en es d'accord ou pas, tu réponds à côté.

    Cordialement,

    [Correction du lien. :) AD]
  • Bonsoir Ga?,
    je fais de la modélisation géométrique et de la synthèse d'image et je travaille donc dans l'espace affine euclidien usuel $E$ d'espace vectoriel attaché $\overrightarrow{E}$.
    La fermeture projective de $E$ est donc $\widehat{E}$ que l'on peut identifier à $E \cup \overrightarrow{E}$ ce qui permet aussi de travailler en coordonnées homogènes.

    Je me sers des inversions pour engendrer des cyclides de Dupin quadriques à partir de tores.
    Je me sers d'applications projectives pour définir des supercyclides à partir des cyclides de Dupin.

    Je veux garder la structure euclidienne de mon espace, utiliser des inversions $i$, de centre $\Omega$ et de rapport $k$ de la forme :
    $$\overrightarrow{\Omega i(M)} = \displaystyle \frac{k}{\Omega M^2}\overrightarrow{\Omega M}$$
    et les composer à la rigueur avec des applications affines ou projectives (tout dépend si je reste en affine ou non).

    Je m'interroge encore sur ta solution puisque si je dois travailler dans le plan complexe, {\bf il me parait important que la conjugaison (symétrie par rapport à l'axe des réels) soit une application affine du plan euclidien et donc la restriction d'une application projective}, ce qui n'est pas le cas si l'on se place sur la droite complexe.
  • @lionel21

    "La fermeture projective de $ E$ est donc $ \widehat{E}$ que l'on peut identifier à $ E \cup \overrightarrow{E}$"

    Ce n'est pas vraiment ça. Le complété projectif s'obtient en ajoutant à $ E$ le plan projectif à l'infini $P(\overrightarrow{E})$.

    "Je me sers des inversions pour engendrer des cyclides de Dupin quadriques à partir de tores.
    Je me sers d'applications projectives pour définir des supercyclides à partir des cyclides de Dupin."

    Les inversions et les applications projectives ne sont pas définies sur la même compactification de $E$. Les inversions sont bien définies sur la sphère $S^3$, les applications projectives sur $ \widehat{E}$. Une inversion ne se prolonge par à $ \widehat{E}$. C'est une des raisons pour lesquelles j'ai un peu de mal à comprendre ce que tu cherches.

    "Je m'interroge encore sur ta solution puisque si je dois travailler dans le plan complexe, il me parait important que la conjugaison (symétrie par rapport à l'axe des réels) soit une application affine du plan euclidien et donc la restriction d'une application projective, ce qui n'est pas le cas si l'on se place sur la droite complexe."

    Où est le problème? Ce que j'ai expliqué (je peux répéter, mais enfin...) c'est que la transformation que tu cherches (qui laisse $A$ et $B$ fixes, qui envoie $C$ sur $C'$ et transforme n'importe quel cercle en cercle ou droite) peut bien se réaliser comme composée d'inversions par rapport à des sphères et de réflexions par rapport à des plans. Que veux-tu de plus?

    Cordialement,
  • Je me suis rendu compte apres que j'avais ete trop vite dans l'ecriture de la fermeture projective de l'espace affine.

    Apres reflexion avec moi-meme, les choses s'eclaircissent et en particulier cette histoire de fermeture de l'espace affine.

    Merci pour tes lumieres.
  • Cher Lionel
    Soit (P) le plan ABC et (P') le plan ABC'.
    Soit r une rotation d'axe AB transformant (P) en (P').Soit D = r(C).
    On est ramené à chercher une transformation circulaire (directe) s de l'espace telle que s(A) = A, s(B) = B, s(D) = C'.
    On sait qu'il existe une transformation circulaire directe t du plan (P') telle que t(A) = A, t(B) = B, t(D) = C'.
    Cette transformation circulaire t se prolonge naturellement à tout l'espace en une transformation circulaire directe s, (extension de Poincaré si je ne m'abuse) et le tour est joué.
    En effet t s'écrit comme produit d'inversions du plan P' et chacune de ces inversions se prolonge naturellement à l'espace tout entier.
    Très amicalement
    Pappus
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