Problème "365"

dans Arithmétique
Bonjour
Je rappelle l'identité de Brahmagupta :
(a^2 + t.b^2)x(c^2 + t.d^2) = (ac-tbd)^2 + t.(ad+bc)^2
(ou aussi = ac + tbd)^2 + t.(ad-bc)^2 )
Soit alors t = +ou- 2^k
Soit un entier naturel n (on peut se restreindre aux impairs et donc avoir k>0) ayant deux décompositions distinctes
n = a^2 + t.b^2 = c^2 + t.d^2
telles que
pgcd(a,b) = 1
pgcd(c,d) = 1
valeur absolue (t.b^2) < n
valeur absolue (t.d^2) < n
Leur produit par Brahmagupta étant noté X^2 +t.Y^2, pouvez vous montrer que
pgcd(X,Y) est un diviseur propre de n ?
voir par exemple
365 = 13^2 + 4.7^2 = 19^2 + 4.1^2
(Pour ma part je n'y arrive pas, mais c'est peut-être faux ou alors l'âge...)
Euzenius
Je rappelle l'identité de Brahmagupta :
(a^2 + t.b^2)x(c^2 + t.d^2) = (ac-tbd)^2 + t.(ad+bc)^2
(ou aussi = ac + tbd)^2 + t.(ad-bc)^2 )
Soit alors t = +ou- 2^k
Soit un entier naturel n (on peut se restreindre aux impairs et donc avoir k>0) ayant deux décompositions distinctes
n = a^2 + t.b^2 = c^2 + t.d^2
telles que
pgcd(a,b) = 1
pgcd(c,d) = 1
valeur absolue (t.b^2) < n
valeur absolue (t.d^2) < n
Leur produit par Brahmagupta étant noté X^2 +t.Y^2, pouvez vous montrer que
pgcd(X,Y) est un diviseur propre de n ?
voir par exemple
365 = 13^2 + 4.7^2 = 19^2 + 4.1^2
(Pour ma part je n'y arrive pas, mais c'est peut-être faux ou alors l'âge...)
Euzenius
Réponses
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Bonjour,
Petit rafraîchissement. Le but est de factoriser le naturel impair n
Bon on écarte le cas où n est différence de deux carrés de deux manières différentes puisque au fond, trivialement, l'une des deux donne des facteurs propres de n (ce que l'on sait depuis belle lurette, pour ne se concentre que sur les cas k>1 (où la condition d'unicité joue lorsque t<0). PGCD(X,Y) est-il bien un facteur propre de n comme on le voit sur des exemples numériques ?
Bonne réflexion
Euzenius
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Bonjour!
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