Points alignés en géométrie projective

Bonjour
J'ai trois points alignes $A$, $B$ et $G$ en affine, ce qui donne en coordonnées (je note $(G)$ les coordonnées de $G$ ) :
$$ (G) = \lambda (A) + \left ( 1- \lambda \right ) (B)$$
En utilisant les coordonnées homogènes, on obtient :
$$ w \left ( \begin{array}{c} G \\1 \end{array} \right ) \sim
\lambda_1 \left ( \begin{array}{c} A \\1 \end{array} \right )+
\lambda_2 \left ( \begin{array}{c} B \\1 \end{array} \right ) $$
ou $\sim$ désigne le relation d'equivalence.

A partir de la dernière ligne ($kw=\lambda_1+\lambda_2$), on obtient :
$$\left ( \lambda_1+\lambda_2 \right ) (G)=\lambda_1 (A) + \lambda_2 (B)$$
qui a comme solution triviale $\lambda_1=\lambda_2=0$.

Ma question est donc la suivante : y a-t-il équivalence entre la seule solution est le couple $\lambda_1=\lambda_2=0$ et le point $G$ n'appartient pas à la droite $\left ( A B \right)$ ?

Pendant que j'y suis, j'abuse :
Je prends un point $A$ dans l'espace affine et dans la fermeture projective de cet espace, un de ses représentants est :
$$ \left ( \begin{array}{c} a A \\a \end{array} \right )$$
Peut-on considérer que ce point s'identifie au point affine pondéré $ \left ( A, a \right )$ ?

Merci d'avance à toute personne qui me redondera.
Lionel

Réponses

  • Salut,

    C'est qui $w$ ?
  • En fait, c'est un facteur d'homothetie : en coordonnes homogenes, les points $\left ( \begin{array}{c} G \\ 1 \end{array} \right )$ et $\left ( \begin{array}{c} w G \\ w \end{array} \right )$ sont identiques.

    Lionel
  • C'est bien ce que je pensais. Et $k$ c'est qui alors ?
  • Comme les points sont aussi equivalents, il y a l'egalite a un facteur d'homothetie pres.
  • Ca fait beaucoup non ? Les points de coordonnées homogènes $(G \, : \, 1)$ et $(\lambda_1 A + \lambda_2 B \, : \, 1)$ sont égaux signifie qu'il existe $k$ tel que...

    Du coup tu trouves un relation entre $\lambda_1,\lambda_2$ et $k$, tu peux substituer, etc.
  • En fait, quand tu fais ca, ca reviens a bosser en affine. J'ai sorti le probleme du contexte : on a un algorithme qui construit un carreau de Bezier rationnel de degre 2 de telle facon que les points de controle verifient des proprietes de perspectivite.

    J'ai ainsi obtenu le parallelisme ou l'intersection des droites en ne considerant que des proprietes sur les coordonnes affines.
    Ma collegue pense que l'on peut determiner les poids a partir de l'algorithme en traitant tout de facon projective.
    Je suis dubitatif, mais je traite tout en projectif et on verra, mais j'etais bloque sur cette verification.
  • Bonsoir,

    Je ne saisis pas trop la direction où va ce fil; mais si ça peut aider, je rappelle que trois points dans le plan projectif de coordonnées homogènes (x,y,z), (x',y',z') et (x",y",z") sont alignés si et seulement si le déterminant 3*3 qu'ils forment est nul, de même que trois droites ux+vy+wz=0, etc. sont concourantes si et seulement si le déterminant formé par (u,v,w) etc est nul. On a d'ailleurs les mêmes propriétés pour les coordonnées barycentriques.

    Cordialement,

    ******************
    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?
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