Le Mathnet Symphonic Orchestra
Retour sur un précédent post relatif à "l'harmonieux" mathématique en lien avec la théorie musicale, loin de toute vanité SVP.
GB me demandait s'il s'agissait de rechercher une nouvelle échelle musicale.
En fait il apparaît en effet que l'on s'approche d'un microtempérament quasi équivalent au cent mais on peut nuancer et si sur le plan de l'acuité auditive cela relève de la spéculation pure, on peut s'y intéresser mathématiquement.
La division en cents de l'octave revient à diviser l'octave en 1200 intervalles égaux. Notez que 1200 = 24 x 50, et que 2 cents est un intervalle très légèrement supérieur à la différence entre une quinte juste et une quinte bien tempérée.
Mais on peut aussi faire une division sur la base de 1224 = 24 x 51.
Nous voici donc en fait ramenés à tracer un polygone régulier à
1200 = 16 x 3 x 5 x 5 ou
1224 = 8 x 3 x 17 x 3 côtés
Depuis Gauss on sait que l'on peut tracer les polygones réguliers à 240 = 16x3x5 ou à 408 = 8x3x17 côtés à la règle et au compas (en un nombre fini de tracés). On sait par contre que la trisection de l'angle est impossible tout comme la division en cinq parties égales. Cependant si l'on admet un algorithme infini mais rapidement convergent pour découper un angle en trois ou en cinq on peut donc atteindre une approximation acceptable de notre polygone.
Pour la trisection on obtient l'algorithme de Salomon fondé sur un encadrement à partir de sommes alternées de puissances négatives de 2 (autrement dit on peut partager en trois toute courbe sur laquelle la notion de milieu a un sens : segment de droite, arc de cercle...). Pour diviser en cinq là je suis sec... mais pour notre MSO ce n'est pas très important.
Donc vous admettrez que j'ai obtenu une bonne approximation d'un polygone régulier à 1224 côtés et l'angle correspondant à deux côtés est plus petit que deux cents mais reste supérieur à la différence des quintes.
Or si l'on partage notre cercle "musical" en 24 portions (quarts de ton égaux) et si l'on prend la valeur centrale pour référence (position zéro) on peut s'écarter de + ou - 12x2 cents sans sortir de la portion de vache qui couine.
Pourquoi ne par chercher un intervalle légèrement plus petit et là très très proche de la différence des quintes et resserrer donc nos portions autour de la valeur centrale (ce qui implique de ne pas s'aventurer vers les huitièmes de ton) de manière à ne plus se faire suer avec des polygones à la Gauss et des approximations à la Salomon ?
Il suffit de prendre un polygone à 12288 = 3x4096 côtés (on suppose que diviser un angle en deux est toujours possible et que l'adresse manuelle du mathématicien est équivalente à la précision de son esprit) et là on part bien de l'hexagone qui ne nécessite pas une grande science mathématique pour son tracé. Le micro-intervalle correspond alors à l'angle interceptant 10 côtés.
Dans ce système on constatera (c'est une conséquence mathématique de notre découpage polygonal - voir sur celui à 1224) que l'on obtient deux systèmes :
1) le système chromatique usuel 12 notes avec 25 micro-positions possibles
2) le système contrechromatique des quarts de tons avec 12 notes et de même 25 positions possibles.
Cependant si l'on veut éviter le comma pythagoricien qui correspond à la position + ou - 12 par rapport à la position centrale, on peut limiter à + ou - 11 (comma syntonique) ce qui restreint le nombre de positions autour de la position centrale. Ainsi le mi pythagoricien (81/64) est à +4 et le mi zarlinien (5/4) à -7 par rapport au mi équitempéré (pour les inconditionnels du cent ils diront +8 et -14 cents respectivement et par conséquent prendront le présent post pour de la pure masturbation mathématique... ah céleste musique, jouez flûtiaux résonnez musettes !)
J'ai pu commettre quelques erreurs (les puissances de 2 finissent par embrouiller l'esprit) et alors vous corrigerez, merci
Euzenius
GB me demandait s'il s'agissait de rechercher une nouvelle échelle musicale.
En fait il apparaît en effet que l'on s'approche d'un microtempérament quasi équivalent au cent mais on peut nuancer et si sur le plan de l'acuité auditive cela relève de la spéculation pure, on peut s'y intéresser mathématiquement.
La division en cents de l'octave revient à diviser l'octave en 1200 intervalles égaux. Notez que 1200 = 24 x 50, et que 2 cents est un intervalle très légèrement supérieur à la différence entre une quinte juste et une quinte bien tempérée.
Mais on peut aussi faire une division sur la base de 1224 = 24 x 51.
Nous voici donc en fait ramenés à tracer un polygone régulier à
1200 = 16 x 3 x 5 x 5 ou
1224 = 8 x 3 x 17 x 3 côtés
Depuis Gauss on sait que l'on peut tracer les polygones réguliers à 240 = 16x3x5 ou à 408 = 8x3x17 côtés à la règle et au compas (en un nombre fini de tracés). On sait par contre que la trisection de l'angle est impossible tout comme la division en cinq parties égales. Cependant si l'on admet un algorithme infini mais rapidement convergent pour découper un angle en trois ou en cinq on peut donc atteindre une approximation acceptable de notre polygone.
Pour la trisection on obtient l'algorithme de Salomon fondé sur un encadrement à partir de sommes alternées de puissances négatives de 2 (autrement dit on peut partager en trois toute courbe sur laquelle la notion de milieu a un sens : segment de droite, arc de cercle...). Pour diviser en cinq là je suis sec... mais pour notre MSO ce n'est pas très important.
Donc vous admettrez que j'ai obtenu une bonne approximation d'un polygone régulier à 1224 côtés et l'angle correspondant à deux côtés est plus petit que deux cents mais reste supérieur à la différence des quintes.
Or si l'on partage notre cercle "musical" en 24 portions (quarts de ton égaux) et si l'on prend la valeur centrale pour référence (position zéro) on peut s'écarter de + ou - 12x2 cents sans sortir de la portion de vache qui couine.
Pourquoi ne par chercher un intervalle légèrement plus petit et là très très proche de la différence des quintes et resserrer donc nos portions autour de la valeur centrale (ce qui implique de ne pas s'aventurer vers les huitièmes de ton) de manière à ne plus se faire suer avec des polygones à la Gauss et des approximations à la Salomon ?
Il suffit de prendre un polygone à 12288 = 3x4096 côtés (on suppose que diviser un angle en deux est toujours possible et que l'adresse manuelle du mathématicien est équivalente à la précision de son esprit) et là on part bien de l'hexagone qui ne nécessite pas une grande science mathématique pour son tracé. Le micro-intervalle correspond alors à l'angle interceptant 10 côtés.
Dans ce système on constatera (c'est une conséquence mathématique de notre découpage polygonal - voir sur celui à 1224) que l'on obtient deux systèmes :
1) le système chromatique usuel 12 notes avec 25 micro-positions possibles
2) le système contrechromatique des quarts de tons avec 12 notes et de même 25 positions possibles.
Cependant si l'on veut éviter le comma pythagoricien qui correspond à la position + ou - 12 par rapport à la position centrale, on peut limiter à + ou - 11 (comma syntonique) ce qui restreint le nombre de positions autour de la position centrale. Ainsi le mi pythagoricien (81/64) est à +4 et le mi zarlinien (5/4) à -7 par rapport au mi équitempéré (pour les inconditionnels du cent ils diront +8 et -14 cents respectivement et par conséquent prendront le présent post pour de la pure masturbation mathématique... ah céleste musique, jouez flûtiaux résonnez musettes !)
J'ai pu commettre quelques erreurs (les puissances de 2 finissent par embrouiller l'esprit) et alors vous corrigerez, merci
Euzenius
Réponses
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Bonjour,
au sujet de la division en $5$, de la même façon que $$\sum_{k=1}^{\infty}4^{-k}=\frac{1}{3}$$ on a :
$$\sum_{k=1}^{\infty}6^{-k}=\frac{1}{5}$$.
Plus généralement, on peut écrire :
$$\sum_{k=1}^{\infty}n^{-k}=\frac{1}{n-1}$$ pour $n>1$.
C'est tout simplement la somme d'une progression géométrique. -
Merci pour cette précision, mon esprit était ailleurs à l'évidence quitte à paraître très cloche, mais comme je l'ai indiqué, ces divisions ne sont pas véritablement importantes pour accorder les instruments du Mathnet Symphonic Orchestra ce qui explique ma paresse.
Avec la division "1200" on peut considérer que l'on peut élargir les demi-tons (ou notes chromatiques) vers les quarts de tons, ce qui n'est plus possible avec le système "1224" qui s'accorde mieux avec la restriction à une portion congrue (+ ou -11 crans de l'ordre de 2 cents) et on resserre encore chaque portion dans le système "12288". Quel système et langage musical choisir ? La tolérance ou le resserrement ? Les deux pourraient être a priori possible mais cela ne donne sans doute pas la même musique, ce que je soumets à vos critiques comme à votre sagacité.
Euzenius -
Avez-vous été voir sur google ce qui se rapporte à l'univers musical microtonal ? Cela me laisse assez dubitatif, pas vous ?
Euzenius
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Bonjour!
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