A est milieu

Jean-Louis Ayme0

Bonjour,
un joli petit exercice...
Soient ABC un triangle, A' le milieu de [BC], L une parallèle à (AA'), X, Y, Z les points d'intersection de L resp. avec (BC), (CA), (AB), et
B', C' les symétriques de X par rapport au milieu resp. de [BZ], [CY].
Montrer que A est le milieu de [B'C'].
Sincèrement
Jean-Louis

Yannguyen0

MERCI ! VOICI UNE FIGURE

[Petite réduction. Bruno]

Bruno

Je n'ai pas une belle démonstration. Mais : si on appelle $U$ et $V$ les milieux de $[CY]$ et $[BZ]$, le quadrilatère $AUXV$ est un parallélogramme et :$$\overrightarrow{UA} = \overrightarrow{XV} = \overrightarrow{VC'}$$ ce qui implique que le quadrilatère $AUVC'$ est un parallélogramme et donc :$$\overrightarrow{VU} = \overrightarrow{C'A}$$or :$$2\,\overrightarrow{VU} = \overrightarrow{C'B'}$$par composition des symétries de centre $V$ et $U$.

Bruno

Domi

Encore plus simple (?)

Jean-Louis Ayme0

Bonjour Domi,
juste pour m'éclairer ce matin, comment prouves tu que (B'C') passe par A avec ton approche?
Sincèrement
Jean-Louis

Domi

Je crois que je suis passé un peu vite sur ce point , je ne sais pas si on peut le justifier simplement : je vais y réfléchir .

Domi

leg0

bonjour
peut être par ce qu'il y a trois triangles isocèles:S

Jean-Louis Ayme0

Bonsoir,
suite aux messagex de Domi et leg, une solution sans calculs et sans transformations est possible.
Sincèrement
Jean-Louis

stfj

Bonjour

Une solution à coup de wedges est quasi-immédiate.

Cordialement.

lesmathspointclaires

Un des rares cas où l'analytique est plus synthétique que le synthétique : on se place dans le repère affine $(A,AB,AC)$

lesmathspointclaires

En mettant la fiFigure dans la configuration habituelle (je l'ai retournée) et j'ai mis les bonnes lettres par rapport à l'énoncé  : $Z,Y,X$ resp. les ordonnées à l'origine, abscisses à l'origine, intersection avec la droite $y=1-x$

stfj

sagemath via

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var('a b c u v w ')

def norm(X):
    return X/(Linf*X)

def simple(vec) :   
    num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
    den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
    facteur=num/den
    vec0=factor(vec[0]/facteur)
    vec1=factor(vec[1]/facteur)
    vec2=factor(vec[2]/facteur)
    vecteur=vector([vec0,vec1,vec2])
    return vecteur



def sym(vec0,vec1) :
  Un=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])
  OOO=matrix( [ [vec0[0],vec0[0],vec0[0]],[vec0[1],vec0[1],vec0[1]],[vec0[2],vec0[2],vec0[2]] ] )
  symO=2*OOO-(vec0[0]+vec0[1]+vec0[2])*Un
  vec=symO*vec1
  return vec                                       



A=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])
Linf=vector([1,1,1])

AB=A.cross_product(B)
BC=B.cross_product(C)
CA=C.cross_product(A)

Ap=vector([0,1,1])
Bp=vector([1,0,1])
Cp=vector([1,1,0])

P=vector([u,v,w])

AAp=A.cross_product(Ap)
inf=AAp.cross_product(Linf)
L=inf.cross_product(P)
print(L)
X=L.cross_product(BC)
Y=L.cross_product(CA)
Z=L.cross_product(AB)
BX=norm(B)+norm(Z)
CY=norm(C)+norm(Y)
print(CY)
BP=sym(BX,X)
CP=sym(CY,X)
A1=norm(BP)+norm(CP)


print(simple(A1))
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fournit le résultat avancé.https://www.geogebra.org/classic/ps6g6esq

gipsyc

Bonjour,

Si l'on rajoute la réflexion (symétrie centrale) du point X par A en Xa, cela devient plus évident : l'on obtient un parallélogramme dont les diagonales se croisent en A.

Jean-Pol Coulon