continuité de <x> en physique quantique

einton

Bonjour,

On peut définir en physique quantique une position moyenne d'une particule par:
< x(t) > = Int (x ! Psi(x,t) ! ^2 dx

où Psi est solution de l'équation de Shrödinger.

Ma question serait :
" Est-ce que la fonction < x > est continue ? "

Bien sûr si on prend le cas d'une onde plane on ne peut même pas définir cette fonction, mais le cas de l'onde plane ne représente pas une réalité physique.

Donc plus précisément, la question serait: On suppose que Psi est telle que l'integrale converge : est-ce que <x> est une fonction continue du temps ? (probablement pas par intuition). Et si non est-ce qu'il existe une caractérisation (ie une caractérisation mathématique pure, à défaut d'une caractérisation ayant un sens physique) de l'ensemble des fonctions Psi telles que <x> soit continue ?

PS: L'étude de la continuité de <x> se pose si on veut essayer de définir une notion de trajectoire en mécanique quantique.

Question subsidiaire : Peut-on trouver d'autres manières "utiles" de définir une trajectoire en mécanique quantique (sauf pour les cas idéalistes de l'onde plane, etc ...) ou alors pourquoi essayer de définir une trajectoire n'aurait pas de sens ?

VK0

La réponse est : à priori oui, même si on peut sans doute fabriquer des contrexemples.

Il y a un thm de continuité sous le signe intégrale:
Si la fonction $t \mapsto \Psi(x,t)$ est continue (et je ne vois pas, physiquement, pourquoi elle ne le serait pas) et si il existe $g(x) \geq 0$ telle $|\Psi(x,t)| \leq g(t)$ pour tout $t$ et telle que $\int g(x)dx$ soit fini, alors $t \mapsto x(t)$ est continue. Comme $\int |\Psi(x,t)|dx = 1$, il faudrait, pour qu'une telle fonction $g$ n'existe pas (pas même localement dans le temps), que $\Psi$ soit très hystérique. C'est-à-dire que la probabilité des trouver la particule à tel ou tel endroit varie très brutalement avec le temps. Tout dépend alors du problème physique dont tu t'occupes ($\Psi$ est une solutiion d'équation aux dérivée partielles, on doit bien pouvoir regarder si une telle fonction $g$ existe)

Sous toute réserves, car je ne connais pas grand chose à la mécanique quantique.

Vincent.

VK0

Lire "$|\Psi(x,t)| \leq g(x)$".