Ectoplasmes algébriques

Bonsoir,

Le titre est lié au fait que je recherche une structure algébrique qui pourrait être une partie d'une algèbre de type fini sur un anneau commutatif principal (la principalité est là pour garantir que les sous-modules ou sous-algèbres sont de type fini de dimension inférieure ou égale, si bien que l'on peut travailler avec des bases et en plus on souhaite qu'il existe une base qui munie de la loi multiplicative induite soit mieux qu'un magma sans être associatif).

Deux pistes guident cette quête, la première étant une "généralisation" du schéma de Cayley Dickson à savoir :

Si K est un anneau commutatif unitaire principal (qui est donc une K-algèbre) on définit par récurrence :

K0 = K et a*=a pour tout élément a de K (antiautomorphisme involutif de K que l'on appelle ici subjugaison)

si a,b,c,d,s,t,u,v appartiennent à Kn, Kn+1 est alors le K-module identifié à des quadruplets sur Kn et on définit une multiplication :

(a,b,c,d)x(s,t,u,v) = (x,y,z,w) où

x = as+v*c
y = u*d+bt
z = ua+ct*
w = ds*+vb

et l'on peut écrire le quadruplet (a,b,c,d) sous la forme matricielle :

a c
d b

On a bien un élément neutre pour cette multiplication : si 1n est celui de Kn et 0n l'élément nul de Kn c'est le quadruplet diagonal :

1n 0n
0n 1n

On définit la subjugaison de Kn+1 par :

(a,b,c,d)* = (b*,a*,-c,-d)

c'est bien un antiautomorphisme car (AB)* = B*A*

K1 s'identifie bien sûr à l'algèbre des matrices 2x2 sur K qui est bien une algèbre associative mais plus commutative (la subjuguée d'une matrice est la matrice complémentaire) et ensuite l'associativité disparaît comme cela se produit usuellement avec le schéma de Cayley-Dickson.

Pour les bases on doit tenir compte d'une stabilité relativement à la subjugaison car certain éléments de la base sont invariants par subjugaison et d'autres donnent leur opposé (donc on travaille avec la base et les opposés - voir le groupe quaternionique). par rapport à une base de Kn on obtient une base de Kn+1 en prenant toutes les matrices 2x2 sur Kn de la forme :

E 0
0 E'

E 0
0 -E'

0 E
E' 0

0 E
-E' 0

où E et E' décrivent toute la base standard de Kn (donc cela explose vite et bon courage si vous voulez vous taper la table de multiplication à la main...)

Ce qui est intéressant c'est de regarder comment ce magma multiplicatif se structure avec ses sous-magmas dont certains sont des quaternions de diverses sortes, des octonions, des seizenions, des groupes de klein etc...

Un problème ouvert est de savoir si le choix d'une subjugaison de départ est importante ou non c'est à dire si deux subjugaisons distinctes donnent des structures algébriquement non isomorphes lorsque l'on oublie la subjugaison sur la structure obtenue. A priori non dans un cadre général, mais avec ce qu'il est convenu d'appeler des nombres c'est du possible mais là encore bon courage !


L'autre piste est de ne pas avoir de structure de groupe additif mais une sorte de "positivité" ce qui d'ailleurs transparaît dans l'examen du déterminant d'une matrice pour avoir une stabilité structurelle : (N,x) est stable dans l'anneau des entiers relatifs, comme les matrices à déterminants positifs le sont pour le produit. Mais en fait cette seconde piste rejoint la première en généralisant la notion de déterminant (oui je sais cela n'a plus rien à voir avec les formes multilinéaires alternées donc il faudrait inventer un autre terme mais cela "coïncide" dans le cas des matrices 2x2). On étudie les produits AA* afin de voir ceux qui possède une certaine positivité de la forme a.1n a étant un élément positif de K (anneau de base), 1n l'unité de l'algèbre Kn. Mais on peut partir d'un ectoplasme initial où la notion de positivité n'a pas de sens mais comme il y a l'unité il contient un semi-groupe soit isomorphe à N soit fini, et ce genre de contrainte peut singulièrement diminuer les candidats pour in fine nous ramener au premier cas avec K anneau de nombre, principal (attention avec Z les bases décrites ci-dessus n'engendrent pas le Z-module défini par le schéma de Cayley-Dickson mais un sous-module de même dimension)


Quel est donc l'ectoplasme algébrique qui se cache derrière tout cela (je me prends peut-être le chou ?) ?

Fantomas...

(je plaisante, Euzenius)
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