Tangentes à un cercle et lieu de points.

Said Fubini

Bonjour,

$(C) $ est un cercle de centre $O$ et de rayon 3 , $H$ est un point du plan tel que$ OH=5$. On note $(d)$ la perpendiculaire à $(OH)$ passant par $H$.
$M$ est point quelconque de $(d)$. On construit les droites issues de $M$ tangentes au cercle $(C)$ en $B$ et $C$ .La droite $(BC)$ coupe $(OH)$ en $I$ et $(OM)$ en $N$.

Le but de l'exercice est de déterminer le lieu du point $N$ lorsque $M$ decrit la droite $(d)$.

J'ai pu determiner le lieu : C'est le cercle de diametre $OI$

Ma qeustion est: Pourquoi $I$ ne dépend pas de $M$

ci-joint la figure réalisé par Geoplan

nicolas.patrois

Le cercle dont tu parles sauf le point O.
Snif snif, ça sent l'inversion.

@options;

@figure;
  O = point( -1.2 , 0.27 );
  R = point( -2.27 , -2.53 );
  ceOR = cercle( O , R );
  H = point( 4.87 , 2.67 );
  dOH = droite( O , H );
  perpHdOH = perpendiculaire( H , dOH );
  M = pointsur( perpHdOH , -4.38 );
  cediaOM = cercledia( O , M );
  B = intersection( ceOR , cediaOM , 1 );
  C = intersection( ceOR , cediaOM , 2 );
  dBC = droite( B , C );
  I = intersection( dOH , dBC );
  dOM = droite( O , M );
  N = intersection( dOM , dBC );

Copie-colle dans Tracenpoche.

Bruno

Bien sur, quand il y a des polaires , il y a de l'inversion... Le point $I$ est le pôle de la droite $(d)$ par rapport au cercle $C$.

Bruno

Said Fubini

je suis désolé , je ne comprends pas ce vocabulaire pôle , inversion

nicolas.patrois

Pour commencer, $\widehat{ONI}$ est un angle droit.
Tu as donc deux triangles rectangles semblables, donc $\frac{ON}{OI}=\frac{OH}{OM}$. Ça peut t'aider, éventuellement.

Said Fubini

Oui : $\dfrac{ON}{OI} = \dfrac{OH}{OM}$ montre seulement que $\dfrac{ON .OM}{OI.OH}$ est une constante et puis

Bruno

La constante vaut 1 quand même. De plus, le triangle MBO est rectangle...

Bruno

gb

Soi $P$ et $Q$ les points de contact des tangentes menées de $M$ au cercle $(C)$ de rayon $R$.

Said Fubini

Merci gb , c'est très clair

gb

Bonjour Said Fubini,

Les points $H$, $I$, $M$, $N$ sont cocycliques, sur le cercle de diamètre $[IM]$, et l'égalité $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{ON}.\overrightarrow{OM}$ (que te susurraient nicolas.patrois et Bruno) n'est autre que l'expression de la puissance de $O$ par rapport à ce cercle.

Je te conseille vivement de t'intéresser à la polarité par rapport à un cercle (à une conique en général) afin de comprendre la première réponse de Bruno, et de voir fonctionner la puissance de la méthode.

Bruno

Du coup j'explicite la solution par polaire (tu chercheras la définition).

La droite $(BC)$ passe par les points de contact des tangentes issues de $M$ au cercle $\mathcal C$, donc c'est la polaire de $M$ par rapport à ce cercle. Comme le point $I$ appartient à la polaire de $M$, la polaire de $I$ passe par $M$ d'après le théorème de réciprocité polaire. Enfin la polaire de $I$ est perpendiculaire à la droite $(OI)$ et c'est donc la droite $d$. Le point $I$ est donc le pôle de $d$ qui est fixe, donc $I$ est fixe. On peut même préciser :$$\overline{OI} \ldotp \overline{OH} = OB^2.$$

Bruno