preuves th de Dirichlet et th densité de Chebotarev

clemclem

Bonjour,

J'aimerais savoir quelles sont les différentes manières de prouver ces théorèmes (et si c'est possible des liens où je pourrais parcourir ces preuves).

Merci d'avance

GreginGre

pour le théorème de Dirichlet: cours d'arithmétique , de Serre

borde

A côté du cours de Serre, dont la démonstration reprend dans les grandes lignes celle de Davenport dans son {\it Multiplicative number theory} (donc une démonstration analytique), il existe des preuves élémentaires, dont celle donnée par Shapiro au début des années 50.

Pour ceux qui veulent s'investir dans ce théorème sans aller jusqu'au TNPPA, je conseille cette démonstration dont l'élégance n'a rien à envier aux preuves analytiques.

Quant au théorème de Tchebotarev (qui, rappelons-le, englobe le théorème de Dirichlet dans un cadre bien plus général), la forme forte requiert la loi de réciprocité d'Artin (donc théorie du corps de classes). On peut cependant trouver des démonstrations n'utilisant pas cette loi dans le cas plus simple où l'extension est abélienne. Les preuves sont toutefois assez délicates.

Voir par exemple le livre de Narkiewicz, {\it Elementary and analytic theory of algebraic numbers}, Springer, page 368--374.


Borde.

-Omar-

Bonjour,

Voilà un lien interessanr sur le Théorème de Chebotarev


http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/papers/cheb.pdf

Amicalement
Omar

borde

En effet.

Lenstra, grand spécialiste actuel de TAlgN, a écrit plusieurs survols sur ce théorème, dont voici une version courte du document proposé par Omar :

\lien{http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Chebotarev.pdf}

En revanche, dans ces deux documents, c'est la version faible de Tchebotarev qui est proposée, c'est-à-dire sans terme d'erreur. La version forte est plus précise, mais plus délicate à démontrer.


Borde.