Modules projectifs

léo2

Bonjour à tous,

Voici un exo sur lequel j'ai un peu de mal, un peu d'aide serait la bienvenue !

Soit E un k[G]-module projectif. (G fini, k de carac p)
Soit F, le sous-espace de E formé des éléments invariants par G, et H, le quotient de E par le sous-espace engendré par les g.x-x, g décrivant G et x, E.

Il s'agit de montrer que F est isomorphe à H.

Pour ce faire, on introduira l'application f:x->sum( g.x, g dans G)

Voici ce que je pensais faire:
-Classiquement, faire le quotient de E/ker(f) et trouver l'image de f...
Mais si il est évident que im(f) est inclus dans F, la réciproque elle n'est pas évidente !
-Si on traite le cas, E, espace vectoriel sur le corps C f est à peu de choses près un projecteur, et l'exo devient simple...

Enfin, je ne vois pas où faire intervenir E, projectif !

Merci d'avance pour votre aide...

GreginGre

A froid comme ça, j'aurais tendance à dire de montrer que $Im(f)=F$, puis d'utiliser la projectivité de $E$ pour dire que $f$ a une section.

Mais je peux me tromper, je n 'ai pas vraiment réfléchi à la question.

léo

Euh, je pensais aussi cela au début, mais on va à l'envers pour la section.

E projectif, c'est équivalent à dire que toute surjection d'un module M->>E admet une section, mais je ne sais/crois pas que l'autre sens soit vrai...

GreginGre

Oups, oui pardon...

vincentpasloggue

Je dirais que tout ca c'est fonctoriel :

ca passe au somme directe et au facteur direct : il suffit donc de le faire pour KG au ca ne doit pas etre bien difficile...

Vincent

Iniacov

Bonsoir Léo ,
Le mieux je pense serait de considerer f* le morphisme quotient de f qui va du groupe d'homologie et arrive de cohomologie de degré 0 car on retrouve que l'homologie de E sur G de degré 0 est E^G et la cohomologie de E sur G est E/vect( g.x-x) ainsi comme le module est projectif tous les puissances du foncteur Ext sur Z[G] sont nulles , or ce foncteur est aussi l'homologie de E sur G , tu te ramène ensuite en caractéristique p en tensorisant .

léo

Bonsoir iniacov,

Merci de ta réponse...hélàs je n'en comprends pas un mot!
Je suis seulement en L3/M1 donc la (co)homologie, je ne connais pas encore!

Penses-tu néanmoins qu'il y ait une solution plus " élémentaires"?

vincentpasloggue

Apparemment Leo, ma solution ne t'inspire pas vraiment :

Je vais essayer de la détailler.

Soit M un kG module (pas nécessairement projectif)

Suppose que M est la somme directe de deux kG modules N et N' (toujours pas forcément projectif).

Exprime les points fixes de M en fonction de ceux de N et de N' !
De même pour les sous-modules engendré par les gx-x.

Finalement tu en déduis que le résultat que tu cherches à démontrer est vrai
pour M si et seulement si il l'est pour N et N'.

Revenons à l'énoncé initial : comme E est projectif, il est facteur direct de kG^n
pour un certain n. Il suffit donc de le démontrer pour kG^n.

Mais toujours avec le raisonnement précédent, il suffit de le démontrer pour kG.

Pour kG, ce n'est pas très compliqué :
si x est un point fixe de kG, on a gx=x : en regardant les composantes dans la base canonique de kG, on en déduit que x est proportionnel à la somme des éléments de G.

Par ailleurs, l'espace engendré par les gx-x est en fait l'espace vectoriel
formé des vecteurs dont la somme des coordonnées dans la base canonique de kG
est nulle : en particulier c'est un hyperplan et donc H est de dimension 1.
On a déjà l'égalité des dimensions. Il reste plus qu'à montrer que l'action de G est la même mais justement : g agit trivialement sur H puisque
si h \in H, on releve h en x \in E, on a gx-x est dans l'hyperplan par lequel je quotient, donc dans le quotient gh=h...


J'espère que ca éclaircit les choses.

léo

Bonjour "vincentpasloggue",

J'avais tout simplement zappé ton message, mais celui-ci, détaillé tout plein, me convient à merveille...
Merci beaucoup!

Tant qu'on y est je me demande pourquoi si E, F des KG modules (avec E proj.)
Le dual de Hom(E,F) c'est (isomorphe à) Hom(F,E)?