Représentations Linéaires

léo2

Bonjour à tous,

Je travaille en ce moment sur le livre de Serre du dit-sujet (Représentations Linéaires des Groupes Finis) pour un stage...
J'ai donc de nombreuses interrogations; c'est pourquoi j'espère que les éminents algébristes du forum voudront bien m'aider!

1/ Indices de Schur: Qu'est-ce?

Plus précisement, je ne comprends pas ce que Serre raconte au 12.2 p107 pour définir l'indice!
Pourquoi [Di: Ki] est-il un carré?

2/ Le triangle cde...

J'ai un peu de mal avec la définition de l'homomorphisme e, ce qui m'empêche de comprendre pourquoi le triangle est commutatif!

Merci d'avance pour toute aide,

léo

deufeufeu

1/ c'est un résultat standard des corps gauches je crois, un corps gauche de dimension fini sur son centre est de dimension carrée (exemple: les quaternions)
2/ peux tu donner la page ? (des triangles cde il y en a beaucoup...)

léo2

Bonjour deufeufeu,

1/saurais-tu m'indiquer une démonstration du résultat "standard"?

2/Dans la 3e section, Chapître 15.3 (définition de e) et 15.4 (commutativité du triangle)

...merci!

léo2

(remoi !)

Concernant 1/, je suis prêt à admettre ce que certain appelent le théorème d'Artin-Wedderburn, mais ca ne fournit pas le degré de l'extension souhaité...

GreginGre

Un corps gauche $D$ de centre $k$ vérifie toujours $D\otimes_k k_{alg}=M_n(k_{alg})$ pour un certain $n$.

En effet, par Artin-Wedderburn, on a $D\otimes_k k_{alg}=M_n(E)$ où $E$ est un corps gauche de centre $k_{alg}$. Or, on voit facilement qu'un tel $E$ est nécessairement égal à $k_{alg}$. (je te laisse ça en exercice)



Comme la dimension de change pas par extension des scalaires, on obtient $dim_k D=n^2$.

Pour la définition de l'indice de Schur: une $k$-algèbre centrale simple $A$ (ie de centre $k$ et sans idéaux bilatères non triviaux) est de la forme $A=M_r(D)$, où $D$ est un corps gauche de centre $k$ par Artin-Wedderburn, unique à iso. près.

L'indice de Schur est $ind(A)=\sqrt{\dim(D)}$

léo2

Bonsoir GreginGre,

Pourrais tu développer un peu plus tes propos, car j'ai bien peur de ne pas tout comprendre?
Je ne suis qu'un étudiant de L3-->M1...

Merci

GreginGre

moi je veux bien, mais il faut me dire ce que tu ne comprends pas.

léo2

"> Comme la dimension de change pas par extension des
> scalaires, on obtient $dim_k D=n^2$."

Je vois pas comment passer de Artin à ceci...

GreginGre

"En effet, par Artin-Wedderburn, on a $D\otimes_k k_{alg}=M_n(E)$ où $E$ est un corps gauche de centre $k_{alg}$. Or, on voit facilement qu'un tel $E$ est nécessairement égal à $k_{alg}$. (je te laisse ça en exercice) "

Es-tu d'accord avec ça? Ensuite, il suffit de dire que, puisque $D\otimes_k k_{alg}=M_n(k_{alg})$ (c'est ce qui précède), on a

$\dim_k (D)=\dim_{k_alg}(D\otimes_k k_{alg})=\dim_{k_alg}(M_n(k_{alg})=n^2$

léo2

euh presque...d'accord avec ce que tu écris, mais pour revenir à Serre;
je vois pas où est le centre Ki par rapport à Di dans notre histoire...

C'est assez énervant, un coup je crois comprendre, le suivant je ne comprends rien!

GreginGre

Je n'ai pas le bouquin sous la main, ça serait sympa que tu recopies le passage qui t'embête...(avec toutes les définitions et hypothèses)

léo2

Okay pas de souci!

Voici donc un extrait du Serre p107:

"L'algèbre K[G] est produit d'alèbres simpes Ai, correspondant aux différentes représentations irréductibles Vi de G sur K.
Si Di:=Hom_G (Vi,Vi) est le commutant de Vi, Di est un corps non commutatif en général et Ai s'identifie à l'algèbre End_Di(Vi).
Si [Vi:Di]=ni, on a donc Ai isomorphe à M_ni(Di).

De plus, le degré de Di sur son centre Ki est un carré, soit mi^2; l'entier mi est appelé l'indice de Schur de la représentation Vi."


Donc je comprends que le 1e paragraphe n'est que l'utilisation du théorème d'Artin-Wedderburn, mais ce qui me pose encore plus de problème, c'est le second ([Di:Ki] est un carré)!

J'espère que maintenant, je suis plus clair (enfin que Serre l'est...) !

GreginGre

Je ne vois pas où est le problème. Dans mon message précédent, je t'ai démontré que la dimension d'un corps gauche sur son centre était un carré....