homéomorphisme : tore et cercle unité

skyrmion

Bonjour,

Je voudrais montrer que le tore $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ est homéomorphe au cercle unité $\mathbb{S}$, mais sans parler de topologie quotient. Comment faire les choses le plus simplement possible ?

J'ai déjà montré que les groupes $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ et $\mathbb{S}$ sont isomorphes en factorisant le morphisme de groupe surjectif $f:\mathbb{R}\to \mathbb{S}, \ x\mapsto e^{2\pi ix}$, en un isomorphisme $\overline{f}$ de groupe de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{S}$ seul petit zèle que je peux m'offrir.
Donc maintenant, je voudrais éviter les étapes : $\overline{f}$ est continue pour la topologie quotient puisque $f$ est continue, et $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ est compact donc $\overline{f}$ est un homéomorphisme.

bye

gb

Comment définis-tu la topologie de $\R/\Z$ sans parler de topologie quotient ?

Utilisateur anonyme

Ben, tu peux imaginer un tore comme un solide de revolution ( i.e : engendré par un cercle tournant ( rotation de l'axe : $\ (Oz) $ ) autour de l'axe : $\ (Oz) $ ...

skyrmion

En fait GB, c'est bien le problème...... Je me demandais s'il n'était pas possible de faire ça un peu à la main sur ce cas concret pour ne pas pas faire exploser les étudiants de physique, mais je n'ai rien trouvé. Bon d'un autre côté, c'est pas vraiment nécessaire non plus.

Merci.

TigerFou

Bonjour,

N'y aurait-il pas une action transitive derrière cet isomorphisme ?
Parce que $\R$ et $\mathbb{S}$ sont localement compacts, et dénombrables à l'infini... Cela justifierait l'homéomorphisme, et la topologie serait en bonus par transfert de structure.

Ceci dit, je dit aussi régulièrement des bêtises alors... Maître gb, qu'en pensez-vous ?

Amicalement,
Johann

Utilisateur anonyme

Je comprends pas vraiment ce qui est demandé à faire ... ! l'espace quotient doit toujours etre muni d'une topologie pour montrer la continuité et donc, l'homeomorphie ... non ? Si tu enlèves la topologie ... avec quoi tu vas travailler ... ?! ça n'a pas aucun sens ... ! 8-)

Utilisateur anonyme

ou bien verifie si leur groupes fondamentaux sont isomorphes ... !

gb

Bonjour TigerFou,

J'en dis que, pour envisager un homéomorphisme, il faut déjà une topologie... donc
– ou on définit la topologie quotient sur $\R/\Z$, et tout vient tout seul ;
– ou on définit la topologie de $\R/\Z$ en transférant celle $S^1$, et la question de l'homéomorphisme ne se pose plus.

Sans parler de topologie quotient, on peut montrer que la famille $(V_r)_{r>0}$, où $V_r = \ ]-r;r[\ +\Z$, définit une topologie compatible avec la structure de groupe de $\R/\Z$ par un système fondamental de voisinage du neutre (on peut se limiter à $r$ rationnel si l'on veut une base dénombrable).
On peut montrer que la distance entre $x+\Z$ et $y+\Z$ en tant que parties du métrique $\R$ fournit une métrique sur $\R/\Z$.
De telles méthodes directes peuvent être de bons jalons en vue de la définition de la topologie quotient.

>Pablo : passer par le groupe fondamental lorsque l'on ne connaît pas la définition d'une topologie quotient relève de l'utopie...!!! ou du masochisme...!!!

TigerFou

Effectivement, j'avais oublié que l'isomorphisme était déjà montré, on définit alors la topologie de $\R/\Z$ en fonction...
\begin{quote} pour envisager un homéomorphisme, il faut déjà une topologie... \end{quote}
Là par contre je ne comprends plus, car si bijection il y a par action (transitive) de groupes topologiques, on peut déjà dire qu'elle est continue, la réciproque l'étant si ces groupes sont localement compacts, ce qui est le cas ici.
Doit-on définir la topologie quotient sur $\R/\Z$ avant de pouvoir dire cela ?

Amicalement,
Johann

gb

TigerFou,

Sans topologie, tu ne peux pas parler d'application continue !!

TigerFou

...

8-)

Bonne soirée

Amicalement,
Johann

db

Bonsoir,

Pour ce qui est de passer par le groupe fondamental, de toute façon, je ne vois pas comment on pourrait montrer que deux espaces sont homéomorphes ainsi. Si deux espaces ont des groupes fondamentaux différents, alors ils ne sont pas homéomorphes. Mais s'ils ont les mêmes groupes fondamentaux, qu'en déduira-t-on ?

Utilisateur anonyme

Hem ... tu demandes à moi ... ?
Oui, la reciproque n'est pas toujours verifié ... ! mais, ils ont chacun un trou , donc, je penses que c'est normal qu'ils soient homeomorphes ... ! Enfin, je pense ... ! 8-)

Remarque0

skyrmion : et si tu mettais sur $\R/\Z$ la distance $d(\dot x,\dot y)=|\{x\}-\{y\}|$ où $\{x\}$ est la partie fractionnaire de $x$ ?

gb

remarque : quel est le comportement de la suite $1-\dfrac{1}{n}$ pour ta distance ?

Remarque0

Tiens oui, ça ne marche pas. Bon tant pis, ça sera pour une autre fois...

JH0

allez gb, allez gb, allez gb, allez gb; krassek lamonetta, krassek lamonaie, krassek la monnaita, krassek lamonaie;
non franchement, chapeau pour gb et aussi pour remarque, mais gb est tres fort

Remarque0

Bel enthousiasme, jh !

Si on essayait plutôt $ d(\dot x,\dot y)=\min(\vert\{x\}-\{y\}\vert,1-\vert\{x\}-\{y\}\vert)$ ? Exo : montrer que c'est une distance (il me semble que oui, mais la vérification de tous les cas de l'inégalité triangulaire paraît fastidieuse). L'idée quand même : on sait, grâce à nos connaissances supérieures (durement acquises à la lecture de Bourbaki) que la topologie quotient de $\R/\Z$ le rend homéomorphe à $S^1$. On sait aussi que $S^1$ est métrique. D'où mon humble idée d'écrire une distance sur $\R/\Z$ qui soit élémentaire à expliquer en termes de $\R/\Z$ et qui redonne la bonne topologie. Si l'exemple ci-dessus n'est pas une distance, là je rends mon tablier.

gb

Mon cher remarque,

Ne penses-tu pas que tu tortures tes connaissances ?
Il me semble que tu es plus ou moins en train de retrouver, par un chemin relativement tortueux, ma proposition du 31 mai, 21:18:05 :
La topologie de $\R$ est définissablee par la distance $d(x,y) = \vert x-y \vert$.
Cette distance induit une application $\delta$ sur $\mathfrak{P}(\R)^2$ par $\delta(A,B) = \inf\{d(a,b) ; a \in A ; b \in B\}$, et on prouve alors que l'on définit une distance sur le quotient $\R/\Z$ par $\dot d(\dot x,\dot y) = \delta(x+\Z,y+\Z)$.
Mais peut-être interprété-je mal tes calculs.

Remarque0

Sans aucun doute. Je voulais juste écrire une distance entre $\dot x$ et $\dot y$ exprimée explicitement en fonction de $x$ et $y$ que skyrmion puisse exposer à son public d'étudiants en physique. That's all.

skyrmion

Bonjour,

Merci aux différents intervenants. Je vais donc mettre sur $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, la distance de gb $d_{gb}(\overline{x},\overline{y})=2\pi \inf\{|(x+k)-(y+m)| : (k,m)\in\mathbb{Z}^2\}$. Je mets le facteur $2\pi$ afin que l'application : $\overline{x}\mapsto e^{2\pi i a},$ où $a$ est un représentant de $\overline{x}$ soit une isométrie surjective lorsque que l'on munit $\mathbb{S}$ de la longueur de l'arc.

Bon au fait tout ça, c'est juste pour faire un peu de maths sur le chapitre de la théorie kam.

Au fait, dans un cadre général, a-t-on des critères de métrisabilité d'une topologie quotient?

sk.