Représentation fidèle

Bonjour,
une petite question de vocabulaire. Soient G et H deux groupes quelconques, X un ensemble. Soit $\rho : X \times G \rightarrow H$. J'aimerais votre avis.

1) Dire que $\rho$ est une représentation signifierait quoi selon vous ?

2) Dire que $\rho$ est fidèle, qu'est ce que cela signifierait pour vous ?


Merci.

Réponses

  • Aucune de ces 2 notions ne s'applique a ton cas: une representation
    ca va d'un groupe vers un espace vectoriel d'endomorphismes d'un autre
    espace vectoriel, et elle est fidele si ce morphisme est injectif.
    Ne confondrais tu pas avec la notion d'action de groupe sur ton ensemble X,
    auquel cas il faudrait remplacer aussi H par X....

    A+
    eric
  • Attention, je ne parle pas de représentations linéaires...

    Bon, disons que j'ai rencontré cette terminologie dans un texte mathématique, donc a priori elle semblerait bonne non ?
  • Vu que tu ne nous dit pas ce qu'elle est censée signifier on ne peut pas vraiment savoir si elle est bonne.

    Comme toujours, tout est affaire de définition et surtout de "champs d'application". Par exemple, a vue de nez, la structure de groupe de H n'intervient pas. Le fait que H et X soient different a priori rend difficile la notion de compatibilité avec la structure de groupe de G (ce qui est quand meme esentiel pour une representation). A la limite, on peut imaginer definir une loi de composition sur l'ensemble des applications de X dans H via une multiplication "point par point" induite par la loi de H, mais je ne sais pas trop quelle structure ca aura...
  • Bon je vous donne ma définition :
    En fait il s'agit de définir une famille de morphismes.

    On exige que pour pour tout $x \in X,\ \rho(x, \cdot)$ soit un morphisme de groupe.
    En fait, $X$ est bien souvent un espace topologique, et on impose une hypothèse de continuité sur $\rho$.
    Mais on me parle de représentation fidèle à propos de cela. J'ai peur de me tromper de définition donc je voulais votre avis en fait.

    Pour moi, cela voudrait dire que pour $x$ fixé, $\rho(x, \cdot)$ sont injectifs, non ?
  • Donc, le but est de définir une famille continue (voire plus...) d'homomorphismes de G vers H. L'auteur appelle cela une representation.


    Bon, sinon quelqu'un a une définition d'une action fidèle à proposer ?
  • C'est ce que tu as dit : injectif.

    Globalement, une représentation, c'est juste un morphisme de groupes entre deux groupes... d'habitude le groupe d'arivée est mieux compris, tu l'utilises pour étudier le premier groupe : tu étudies sa représentation dans le second. Quan dla représentation est fidèle c'est mieux ça veut dire que ton premier groupe est carrément vu comme sous-groupe du second.

    Après, le fait d'introduire une famille d'objets de ce type, paramétrée par un espace topologique, une variété algébrique, n'importe quoi, ça ne change pas beaucoup.
  • Merci de ta réponse, ça confirme ce que je pensais :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.