Pour "Remarque" (bases orthogonales)

En "inventant" mes ptites questions pour le fil bac+langage, je me suis aperçu d'un truc:

Soit E un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (un préhilbert). A la rigueur, t'as le droit de supposer plein de trucs supplémentaires (sauf qu'il est de dimension finie).

Est-ce que t'arrives à fabriquer une base algébrique (tout vecteur est somme d'une combinaison linéaire finie) dont les vecteurs sont 2 à 2 orthogonaux??

(il me semble pas... mais je trouve intéressant le problème (vague) de la notation purement symbolique des "sommes":

On dispose d'une famille de vecteurs de norme 1 a_i 2 à 2 orthogoanux, et d'un vecteur e qui "n'est pas somme" (sans préciser finie, ou infinie, ni préciser ce que ça veut dire) de vecteurs de la famille.

On procède bêtement (et classiquement) comme suit: on prend x_i=e.a_i. On dit que "e-somme des x_ia_i" est orthogonal à tout a_i et on ajoute e pour agrandir la famille (en le normant). Ainsi, on sature par Zorn. Tout ceci est purement "formel", mais, évidemment rien n'a de sens précisé. Par contre, on perd manifestement la "finitude".
)


Tu connais des trucs intéressants la-dessus? (disons qui nous ramène pas aux Hilberts avec l'exigence que la séries des normes converge et le touti quanti)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi

Réponses

  • Il n'y a pas un problème de cardinalité ? En gros, prendre les vecteurs 2 à 2 orthogonaux me semble bouffer beaucoup de place dans l'espace, alors que j'imagine volontiers une base algébrique comme beaucoup plus touffue et dense. Par exemple, si l'espace est séparable, alors toute famille orthogonale est dénombrable (en passant au complété pour ne pas se casser la tête).
  • Salut Christophe.

    Je me déloggue pour avoir le droit de participer à cette discussion, puisqu'apparemment tu t'adresses exclusivement aux intervenant qui s'appellent "Remarque" (comme le R est majuscule, je n'ai pas trop l'impression d'usurper l'identité de remarque et j'arrive à le vivre bien).

    En fait ça serait cool que tu précises la question car j'ai l'impression que tu dis :
    1) peut-on construire une base algébrique orthonormée ?
    2) j'ai l'impression que non.
    3) bien sûr, on peut le faire, c'est une application toute bête de Zorn.
    4) on perd manifestement la "finitude".

    2) et 3) me paraissent contradictoires :S

    Quant à 4), qu'as-tu voulu dire ??? Cette phrase est un mystère pour moi :S


    Signé : "Remarque" (à ne pas confondre avec remarque).



    PS : Pour moi, je rédigerais une preuve d'existence d'une base algébrique orthonormée par Zorn plutôt comme ça : l'ensemble des familles orthonormées est inductif pour l'inclusion et non vide (car ...) donc a un élément maximal. Une telle famille est en fait une base (car ...).

    PPS : le vrai remarque ayant posté avant moi, je lui adresse également mes demandes de précisions (n'étant pas exclusif, moi ;)).
  • remarque a écrit:
    toute famille orthogonale est dénombrable

    Diable! Lequel de mes deux "car" est faux ?
  • Bienvenue au club "Remarque". Non je n'ai pas de précisions particulières, c'était juste pour faire avancer le schmilblique. De toutes façons, j'ai tendance à m'emmêler les pinceaux dans les cardinaux dès qu'ils dépassent 3 ou 4.

    Sinon, il y a toujours l'espace des polynômes et tous ses déguisements, pour lequel ça marche.
  • Remarque a écrit:
    l'ensemble des familles orthonormées

    Diable, c'est bien embêtant de ne pas pouvoir éditer ces messages.

    Je voulais dire "familles libres orthonormées".

    Du coup je risque de me relogguer.
  • Qui se cache derrière "Remarque" ?

    Les paris sont ouverts ?
  • Ben en tout cas, c'est pas moi.B-)-
  • Je dirais GG ou Bruno.

    ["Remarque" <> Bruno (:P)]
  • Bonjour,

    Je penche pour la "légende urbaine" :)

    Amicalement.
  • En fait, par Zorn, comme disait RemarqueII, il existe une famille orthogonale maximale F pour l'inclusion (qui ne contient pas 0). Pour ne pas se prendre la tête, on multiplie chaque u de F par le scalaire qui convient pour obtenir que u.u=1.

    Après, si on se refuse de faire usage de topologie, on "constate":

    si e n'est pas dans l'espace engendré (au sens imprécisé) par F, on a envie de rajouter un certain e' comme suit:

    (très classiquement)

    On définit x_u:=e.u pour chaque u dans F.

    on "pose" (formellement, ça ne veut rien dire à priori):

    m:=somme des x_u.u.

    (e-m).u=e.u-m.u=x_u-(x_u×u).u=0

    Formellement toujours, il s'ensuit que e':=e-m est orthogonal à tous les u de F

    Par hypothèse de maximalité de F, e'=0 et donc e=e'+m=m est dans l'espace engendré par F.

    Ca donne envie de trouver un sens aux sommes quelconques.

    Par ailleurs, la notion de famille orthogonale maximale ayant un sens d'avance, ça "fixe" toutes les autres notions ci-dessus qui n'en ont à priori pas.

    Pour "RemarqueII": c'est ton deuxième "car" qui est le plus douteux.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je ne vois pas pourquoi une famille orthogonale maximale serait une base algébrique. C'est faux (je me répète) sur un espace séparable qui n'a pas de base algébrique dénombrable, donc tout ce qui est inclus dans $\ell^2(\N)$ à isométrie près et qui n'est pas algébriquement engendré par une famille dénombrable. Ca fait du monde. Pour les sommes quelconques, je ne te suis pas. En gros, faire le procédé de Gram-Schmidt sans avoir une famille dénombrable...
  • Bonjour remarque (avec minuscule),

    Qu'est ce que faire le procédé de Gram-Schmidt sans avoir une famille dénombrable ?
  • C'est bien ma question à cc. :)
  • Je propose un autre exemple (enfin, si on veut, car il ne correspond pas vraiment à ce qui est demandé) que celui des avatars de $\ell^2(\N)$ pour expliquer comment une famille orthogonale libre, maximale parmi les familles orthogonales libres, peut ne pas être maximale parmi toutes les familles libres.


    Mais je triche. Je ne considère pas un $\R$-espace vectoriel. Ça n'a donc pas grand sens. Indépendament de ça, pas sûr que ce que je raconte soit correct. Je vous le soumets parce que c'est visuel.


    Je considère le $\Q$-espace vectoriel $\Q(\sqrt{2})$, que je munis de l'application suivante : $\bullet : \left \{ \begin{array}{lcl} \Q(\sqrt{2})\times \Q(\sqrt{2}) & \rightarrow & \R \\ (x,y) & \mapsto & x.y \end{array} \right .$ (le bête produit des réels quoi).


    Il est aisé de vérifier que $\bullet$ est $\Q$-bilinéaire symétrique, et défini positif. Le seul truc c'est que ça n'est pas une forme (l'espace d'arrivée est $\R$, pas $\Q$). Mais si on accepte quand même d'appeler ça un "produit scalaire", et qu'on considère la notion de famille orthonormée correspondante, la famille $\{1\}$ est orthonormée et maximale parmi les orthonormées (par intégrité du produit), mais certainement pas maximale parmi les familles libres ($\{1,\sqrt{2}\}$ est plus grande).


    Si on fait un dessin, qu'on dessine $\Q(\sqrt{2})$ par une droite (on a de l'imagination), on voit très bien que la famille $\{1\}$ engendre une partie dense de la droite. D'où l'impossibilité de la compléter orthogonalement en une base. En extrapolant un peu, il paraît raisonnable de se dire que la famille obtenue par Zorn, qui n'a donc pas de raison d'être une base algébrique, doit probablement toujours être une base hilbertienne, et je pense que c'est ce que Christophe voulait dire dans son premier post en parlant de Zorn.


    Peut-on adapter ma mauvaise idée en bonne idée, c'est à dire en quelque chose d'à la fois visuel et correct ?
    On pourra m'objecter que $\ell^2(\N)$ est très visuel (mais bon, je ne trouve pas)...
  • Du vrai remarque: Je ne vois pas pourquoi une famille orthogonale maximale serait une base algébrique

    Non, mais on est bien d'accord. Ce que j'évoque c'est que la "raisonnement" purement formel ci-dessus "donne envie" de poser des axiomes qui décrète qu'une somme quelconque veut dire quelque chose.

    A priori, ce decret "précède" psychologiquement la topologie. Et ce qui est marrant c'est que la raisonnement qui se sert de Zorn aboutit aux même familles maximales (qui ne sont pas (forcément) des bases algébriques) puisqu'elles sont définies sans le décret.

    On a donc une sorte de théorème qui dit: "dans les espaces décrétés, les bases Hilbertiennes engendrent tout l'espace (même si lui n'est pas un Hilbert)

    Et ce fil était destiné à une quête de directions non Hilbertiennes pour rechercher des phénomènes de ce genre.

    Et je plussois (je suis content d'avoir appris ce mot lol) tout ce qu'a dit Barbant raseur
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • En gros, faire le procédé de Gram-Schmidt sans avoir une famille dénombrable...

    Attention, je ne fais pas spécialement le procédé de Gram-Schmith, je fais un raisonnement analogue, mais formel!

    Tu sais qu'on ne peut pas sommer une famille non dénombrable de nombres positifs non nuls, mais là n'est pas la question. Pour le prouver (qu'on ne peut pas), on fait un raisonnement cardinal par l'absurde, or le "nondénombrable" n'est pas une notion absolue (en théorie des ensembles, une "qualité" est absolue si elle est conservée quand on agrandit l'univers).

    A la rigueur, tu obtiens que certains vecteurs ont des "normes" infinies (que tu peux considérer comme appartenant à un corps non archimédien, mais les grands mots, bouuu)

    Surtout, c'est que le raisonnement, là, "marche" d'une manière robuste ce qui encore une fois donne envie de voir jusqu'où il va.

    D'ailleurs ça participe surement à donner de l'importance à l'Hilbertisme et au banachisme cette robustesse "dès que vous avez une base hibertienne, vous pouvez tout calculer (obtenir tous les vecteurs, y compris des objets invraisemblables)"

    Résumé:

    1) il existe de familles orthogonales maximales
    2) dès qu'on peut écrire toute somme (avec les axiomes naturels), et qu'on peut inverser tout élément du corps n'importe quelle famille orthomaxi est telle que tout vecteur est somme d'une combinaison linéaire des vecteurs de la famille
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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