re bijection pathologique....

pat4

bonjour a tous, j'ai pose hier une questiion sur laquelle je bute encore
(le 06/29 a 10h41 nous dit la liste), je me premet de vous inviter a la regarder avant quelle ne se perde dans les profondeurs......elle vous inspirera peut etre......

pat4

bonjour, oui j'ai bien l'impression que ca marche, je vai imprimer cela et y jeter un coup d'oiel a tete repose. mais je pense que tu as mis le doigt sur la suite que je cherchais eneffet comme tu as du le remarquer ma fonction f n'est pas derivable avec f'(0)=1 seulement a cause de la suite $(1/2n)$ (ou (2n+1) je me rapelle pas tres bien de mon message) ou le taux d'accroissement tends vers 1/2. et en simple coup d'oeil sur ton exemple semble me montrer que ce point epineux sute................encore merci.

Vincent7

Bonjour,

Il me semble que la construction suivante fonctionne. Elle est basée sur le lemme :

"Les nombres $\frac{pn+1}{p}$, $\frac{p}{pn+1}$, où $p$ et $n$ parcourent $\N^*$, sont deux à deux distincts."

Cela étant acquis, construisons $f$. On pose $f(x) = x$ si $x$ n'est pas l'un des rationnels évoqués dans le lemme.
Par ailleurs, on pose
Si $p \geq 2$ et $n \in \N^*$:
$$f\left(\frac{pn+1}{p}\right) = \frac{(p-1)n+1}{p-1}$$
Puis, pour tout $n \in \N^*$,
$$f(n+1) = \frac{1}{n+1}$$
et, si $p \geq 1$ et $n \in \N^*$, $$f\left(\frac{p}{pn+1}\right) = \frac{p+1}{(p+1)n+1}$$

Es-tu d'accord ?

Vincent.