Angle droit

Bonjour,
je vous soumets un petit problème, histoire de voir si des gens sont forts en géométrie. :)
Je sèche lamentablement sur ce problème.:S

Merci d'avance à toute personne qui pourra me donner une solution.:)-D

Lionel

Réponses

  • Salut Lionel.

    Dans PG4, s'agit-il de produits mixtes ?

    Bruno
  • Oui Bruno,
    c'est pour traduire la coplanairité des 4 points.

    Lionel
  • Bonjour,

    Je dois être bouché.

    Quelles sont les données et que faut-il démontrer ?
  • Je rejoins gb, la relation $\overrightarrow{P_{22}P_{12}} \bot \overrightarrow{P_{22}P_{21}}$ fait partie des hypothèses {\bf PG3} apparemment.

    Bruno
  • En fait, j'ai écrit un algorithme qui construit les points $P_{ij}$. Ces points doivent vérifier toutes les conditions du tableaux (PG1) à (PG4).

    Je pars des 4 points cocycliques $P_{00}$, $P_{02}$, $P_{20}$, $P_{22}$, puis je definis $P_{11}$.

    Ensuite, je prends un point $P_{10}$ dans le plan médiateur de $[P_{OO}P__{20}]$ puis je construis le point $P_{01}$ dans le plan défini par $P_{00}$, $P_{11}$ et $P_{10}$ vérifiant les bonnes conditions définies par les conditions du tableaux (PG1) à (PG4).

    Je fais la même chose pour les points $P_{12}$ et $P_{21}$ et j'ai vérifié que la condition (PG4) est vérifiée.

    Les conditions (PG1) et (PG2) sont vérifiées par construrction.

    Trois conditions de (PG3) sont aussi vérifiée par construction, il me reste à montrer que la dernière condition de (PG3) ($(P_{22}P_{21})$ orthogonal à (P_{22}P_{12})) l'est aussi.

    Et là, je coince !!!
    En prenant la figure, on voit que la figure est "symétrique" et que chaque sommet avec ses deux points intermédiaires (par exemple $P_{00}$, $P_{01}$ et $P_{10}$) jouent le même rôle. Comme l'on a 3 angles droits, il semble naturel que le quatrième le soit aussi.

    Lionel
  • Bonjour, est-ce moi qui n'ai pas été assez clair, ou séchez-vous aussi ?

    En résumé, le carreau, construit avec mon algorithme, doit vérifier toutes les conditions (PG1) à (PG4) du tableau.

    Pour le moment, j'ai montré qu'il vérifiait toute les conditions sauf :

    $$\overrightarrow{P_{22}P_{12}} \bot \overrightarrow{P_{22}P_{21}}$$

    La condition $\overrightarrow{P_{22}P_{12}} \bot \overrightarrow{P_{22}P_{21}}$ peut-elle être démontrée à partir des autres conditions déjà démontrées ?

    J'ai oublié de dire que si on note $\pi^1_i$ le plan défini par $P_{i0}$, $P_{i1}$ et $P_{i2}$, les plans $\pi^1_0$, $\pi^1_1$ et $\pi^1_2$ sont sécants le long d'une même droite.
    De même, si on note $\pi^2_i$ le plan défini par $P_{0i}$, $P_{1i}$ et $P_{2i}$, les plans $\pi^2_0$ $\pi^2_1$ et $\pi^2_2$ sont sécants le long d'une même droite.
    De plus, ces deux droites sont orthogonales.

    Lionel
  • Je mets une figure faisant apparaître un des triangles isocèles.

    Lionel
    8806
  • Bonjour Lionel.

    Il me semble que les vecteurs $\overrightarrow{P_{10}P_{00}}$ et $\overrightarrow{P_{10}P_{20}}$ ne sont pas orthogonaux. Sinon tu as un triangle, $P_{00}P_{10}P_{22}$, rectangle isocèle qui rompt la symétrie.

    Bruno
  • Au temps pour moi, $\overrightarrow{P_{10}P_{00}}$ et $\overrightarrow{P_{10}P_{20}}$ ne sont pas orthogonaux, c'est bien $\overrightarrow{P_{20}P_{10}}$ et $\overrightarrow{P_{20}P_{21}}$ qui le sont.

    J'ai corrigé la figure.

    Lionel
    8812
  • Autre question : cette espèce de résille bleue représente-t-elle une sphère ? Et les côtés des angles droits sont-ils tangents à cette sphère ? Si oui, les plans définis par les droites rouges, $(P_{11}P_{10})$ et $(P_{11}P_{01})$ seraient tangents à cette sphère.

    Bruno
  • La résille, après un calcul adéquat des poids, représente un carreau de Bézier rationnel biquadratique modélisant un carreau de cyclide de Dupin quartique (surface à lignes de courbure circulaires).

    Oui, le plan tangent à la surface (que l'on ne connaît pas encore) en $P_{00}$ sera le plan défini par $P_{00}$, $P_{01}$, $P_{10}$ et $P_{11}$ (et etc pour les 3 autres sommets).

    Lionel
  • Vive la géométrie analytique X:-(

    140 secondes de Maple, et j'obtiens bien un produit scalaire nul, mais c'est bourrin.8-)

    Lionel
  • Bravo ! Es-tu sûr qu'il n'y a pas eu de micro coupures impliquant une divagation de Maple :D ?

    Bruno
  • L'ordi est branché sur un onduleur. Quant aux divagations, on ne peut pas savoir vu que c'était sous windows (:P)

    Cela dit, si quelqu'un trouve une belle démonstration géométrique, je suis preneur (Ca fait trois jours que je sèche, d'où l'emploi du marteau-pilon).
  • Puis-je me permettre de reprendre calmement ce problème qui me laisse perplexe ?

    Je change les notations parce que je les trouve peu commodes... j'espère que vous ne m'en voudrez pas et peut-être que cela vous fera aborder le problème sous un angle (droit ?) nouveau.

    Si j'ai bien compris, voici les données :

    Soit $A_1,A_2,A_3,A_4$ 4 points cocycliques et $B$ un point quelconque (hors du plan du cercle ?).
    Pour tout couple, $(i,j)\in \{1,2,3,4\}^2$, on note $\Pi_{ij}$ le plan médiateur du segment $[A_iA_j]$.
    Soit $C_{12}$ un point quelconque du plan $\Pi_{12}$.
    On construit successivement les points suivants :
    - $C_{23}$ est le point d'intersection du plan $\Pi_{23}$, du plan orthogonal à la droite $(A_2C_{12})$ passant par $A_2$ et du plan $(A_2BC_{12})$
    - $C_{34}$ est le point d'intersection du plan $\Pi_{34}$, du plan orthogonal à la droite $(A_3C_{23})$ passant par $A_3$ et du plan $(A_3BC_{23})$
    - $C_{14}$ est le point d'intersection du plan $\Pi_{14}$, du plan orthogonal à la droite $(A_4C_{34})$ passant par $A_4$ et du plan $(A_4BC_{34})$
    en supposant qu'ils existent tous.

    La question est de savoir si :
    1) les points $C_{14}$, $A_1$, $C_{12}$ et $B$ sont coplanaires,
    2) les droites $A_1C_{12}$ et $A_1C_{14}$ sont perpendiculaires.

    Apparemment, lionel21, tu avais réussi à montrer le premier point mais pas le 2ème.
    Malheureusement, en faisant la simulation sur GeospacW, on trouve que ni l'une ni l'autre des 2 propriétés ne sont vraies en général ! (sauf erreur de ma part)
    Peut-être le sont-elles si l'on spécifie un peu plus le point $C_{12}$ au départ...

    Je fournis en pièce jointe le fichier GeospacW pour qui voudrait vérifier...
  • $B$ n'est pas quelconque, son projeté ortogonal sur le plan du cercle et le centre du cercle. En fait, $B$ appartient aux $4$ plans médiateurs et il est donc sur l'axe des cotes : j'ai pris le cercle dans le plan d'équation $(z=0)$ et de centre l'origine du repère (c'est mieux pour les calculs).

    La réponse a tes deux questions est oui.

    Les notations viennent de l'écriture des surfaces de Bézier c'est-à-dire qu'un point $M(u,v)$ appartient à la surface de Bézier rationnelle biquadratique de points de contrôle pondérés $\left P_{i,j} ; w_{ij} \right) $, $i=0;1;2$, $j=0;1;2$ si pour un point $O$ quelconque on a :

    $$\overrightarrow{OM(u,v)} = \frac{1}{\sum_{i=0} ^2 \sum_{j=0} ^2 B_i(u) B_j(v) w_{ij}} \sum_{i=0} ^2 \sum_{j=0} ^2 B_i(u) B_j(v) w_{ij}\overrightarrow{OP_{ij}} $$

    où les $B_i$ et $B_j$ sont les polynômes de Bernstein quadratique et $u$ et $v$ appartiennent à l'intervalle $[0;1]$.
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