bijection pathologique...

pat4

bonjour a tous,
je cherche a construire (s'il existe ) l'objet suivant : une application $f$ de
$\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui soit bijective, continue et derivable en zero telle que $f'(0)=1$ mais telle que $f^{-1}$ ne soit pas continue en zero.
visiblement $f$ ne va pas etre continue sur un voisinage de l'origine.
pour le moment j'arrive a construire un tel objet mais avec $f'(0)=0$ etj'ai du mal a obtenir une derivee non nulle surtout en desirant une construction assez simple. Vos inspirations seront les bienvenues.

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Pas possible, puisque $f $continue implique $f^{-1}$

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Je voulais dire " Pas possible, puisque $f $continue implique $f^{-1}$ continue " ...

pat4

bonjour, ton assertion est vraie si f est continue au voisinage de l'origine, ici biens sur ce n'est pas le cas, je n'impose la continuite qu'en zero. en fait la fonction que j'ai construite est discontinue sur Z et les reels de la forme $1/p$ avec p dans Z tous non nuls bien sur. tous ces theoremes sur la regularite de l'inverse en un point imposent beaucoup plus au voisinage du point.

pat4

je vous donne ma fonction : l'idee pour que $f^{-1}$ soit discontinue a l'origine est qu'il faut fabriquer une suite $(x_n)_n$ qui ne tende pas vers $0$ mais telle que $(f(x_n))_n$ tende vers $0$. et il faut bien traficoter pour que cela reste bijectif.
je definit $f$ de la maniere suivante :

Pour $n\in\mathbb N$ je pose $f(2n)=n$ (je recupere donc tous les entiers ce qui me laisse de la liberte pour les impairs)

je pose alors $f(2n+1)= {1\over {2n+3}}$ et pour $n\geq 2$
je pose $f({1\over n})={1\over{2n-2}}$

a ce moment $f$ envoie entiers et $1/n$ bijectivement sur entiers et $1/n$.

pour les autres $x$ positifs je pose $f(x)=x$, et je prolonge $f$ sur les negatifs en posant $f(-x)=-fx)$.

f est alors une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ et par construction nous avons $\vert f(x)\vert\leq \vert x\vert$ qui assure la continuite a l'origine. on peut verifier que $f$ n'est pas derivable a l'origine mais en considerant alors $g(x)=f^3(x)$ qui est un petit $o$ de $x^2$ en zero on a la fonction tant desiree avec $g'(0)=0$. Ma question est alors d'en trouver une telle que $g'(0)\ne 0$. qu'en pensez vous ?