Eclatement d'un ensemble en singletons

Salut à tous les matheux,
Soit E un ensemble non vide. Convenons qu'éclater E en ses singletons c'est associer à E l'ensemble formé des {x} où x parcourt E.
Si E={1,2,3} alors l'éclaté de E que l'on peut noter ecl(E) est {{1},{2},{3}}.
Considérons maintenant un ensemble X et E un de ses éléments non vide, E est un ensemble donc on peut considérer un nouvel ensemble Y obtenu en prenant tous les éléments de X sauf E qui, lui, est remplacé par les singletons de son éclaté. Il est clair que Y a soit autant d'éléments que X si E est un singleton soit plus d'éléments que X sinon; on dira pour résumer les 2 cas que Y "a plus d'éléments" que X (trouver l'injection adéquate n'est pas très compliqué) Mezalor à fortiori si on éclate en singletons tous les éléments de X on obtiendra un nouvel ensemble Z qui "aura plus d'éléments" que X.
Est-il vraiment nécessaire de prouver cela en exhibant une injection ce qui nécessitera l'axiome du choix ou peut-on considérer cela comme une évidence du premier ordre du genre : quand je fais 2 pas en avant j'avance plus qu'en ne faisant qu'un seul pas?
L'intérêt de tout cela c'est que si l'on admet ce qui précède il devient très facile de prouver que tout ensemble non vide "a plus d'éléments" que n'importe laquelle de ses partitions et cela sans l'axiome du choix vu que si P est une partition de E et que l'on éclate en singletons chaque partie de P on obtient un nouvel ensemble qui est l'éclaté de E et qui est bien évidemment équipotent à E.
Qu'en pensez-vous?
Correctif : L'énoncé précédent est erroné comme l'a judicieusement montré db par un contre-exemple plus bas. J'avais affirmé imprudemment que Y avait toujours plus d'éléments que X ce qui est faux. Cependant l'essentiel est préservé pour ce qui concerne une partition d'un ensemble.
Annulons l'énoncé précédent et proposons un nouvel énoncé:

Soit E un ensemble non vide. Convenons qu'éclater E en ses singletons c'est associer à E l'ensemble formé des {x} où x parcourt E.
Si E={1,2,3} alors l'éclaté de E que l'on peut noter ecl(E) est {{1},{2},{3}}.
Si X est une partition d'un ensemble E et A un élément de X on peut considérer un nouvel ensemble Y obtenu en gardant tous les éléments de X sauf A que l'on remplace par les singletons de son éclaté. Il est clair que Y "a plus d'éléments" que X car une injection de X dans Y est facile à définir. On dira que Y a été obtenu à partir de X en éclatant A en singletons.
Mézalor il devient très facile de prouver que tout ensemble non vide "a plus d'éléments" que n'importe laquelle de ses partitions et cela sans l'axiome du choix vu que si X est une partition de E et que l'on éclate en singletons simultanément toutes les parties de X les singletons obtenus sont distincts deux à deux et on obtient un nouvel ensemble Z qui est l'éclaté de E.
Et comme l'éclatement d'une partie de X nous donne un ensemble Y ayant "plus d'éléments" que X à fortiori l'éclatement de toutes les parties de X nous donnera un ensemble Z ayant "plus d'éléments" que X.
Est-il vraiment nécessaire de prouver cela en exhibant une injection de X dans Z ce qui nécessitera l'axiome du choix ou peut-on considérer cela comme une évidence du premier ordre du genre : quand je fais 2 pas en avant j'avance plus qu'en ne faisant qu'un seul pas? Ensuite il reste à remarquer que Z étant l'éclaté E il est clairement équipotent à E et la conclusion attendue E "a plus d'éléments" que toute partition de E.
Qu'en pensez-vous?

Réponses

  • Bonjour Guy PHILIPPE,

    Quelle est ta définition de "Z a plus d'éléments que X" ?
  • bonjour db, la définition c'est qu'il existe une injection de X dans Z
  • Tu connais un théorème de Cantor qui dit que $card(\mathfrak{P}(E)) > card(E)$ ?
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Je ne vois pas trop ce que vient faire Cantor ici?!
  • Tu n'as pas écrit que tout ensemble avait un ensemble de ses parties plus petit que lui-même ? Ou j'ai mal lu ?
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • J'ai écrit chaque partie de P or P est une partition de E
  • Ha, donc un ensemble inclus dans un autre a un cardinal plus petit (ou égal). X:-(
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • E={1,2,3} P={{1},{2,3}} est une partition de E ayant 2 éléments alors que E en a 3 ce qui me fait dire que E a "plus d'éléments" que n'importe quelle partition de E.
    L'intérêt commence avec E infini et pourquoi pas P infini aussi car il semble bien que la propriété perdure avec des ensembles infinis.
  • Je ne suis pas sûr d'avoir compris.
    Je prends $X=\{ \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \} \} $ et $ E = \{ a, b \} $. Que vaut $ Y $ ?
  • Bien vu db ton exemple montre clairement que je me fourvoyais en disant que Y avait "plus d'éléments que EX dans tous les cas car avec ton exemple on a Y={{a},{b}} qui a moins d'éléments que E. Par contre pour le cas qui m'intéresse X=P=une partition de E on n'a plus l'inconvénient que tu signales car chaque singleton provenant de l'éclaté d'une partie ne peut être égal à un singleton de l'éclaté d'une autre partie vu que deux parties différentes sont disjointes.
    Je vais donc signaler au début du fil que mon énoncé de départ est erroné et reposer la question concernant les partitions d'un ensemble.
  • Il me semble au contraire que card(Y)=card(E), selon ce que tu as répondu.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Je crois que Guy PHILIPPE a confondu X et E dans son dernier message, du coup, c'est un peu difficile à suivre.
    L'exemple que j'ai donné est un contre-exemple à la conjecture "Y a plus d'éléments que X".
    Si Guy pense que son énoncé peut être corrigé, il faut qu'il le fasse proprement, car quand il a écrit "X=P=une partition de E", il n'a peut-être pas écrit ce qu'il pensait.
  • Pour nicolas, Y s'obtient à partir de X en gardant tous les éléments de X sauf E={a,b} soit {a} et }'b} et on remplace E={a,b} par les singletons de son éclaté soit {a} et {b} qui figurent déjà dans Y d'où Y ={{a},{b}} différent de X.
  • Oui db c'était X et non pas E et désolé pour Nicolas que j'ai induit en erreur.
  • Si j'ai bien compris :
    Si $E$ est un ensemble, on pose $\mathrm{ecl}(E) = \{\ \{x\} ; x\in E \}$ et l'on dispose d'une bijection "triviale" de $E$ dans $\mathrm{ecl}(E)$.
    Maintenant $X$ est une partition de $E$ dont aucun élément n'est vide, et tu veux montrer qu'il existe une injection de $X$ dans $E$, sans utiliser l'axiome du choix, uniquement en utilisant que la relation "il existe une injection de $X$ dans $Y$" est transitive afin de montrer l'existence d'une injection de $X$ dans $\mathrm{ecl}(E)$, que tu n'exhibes pas explicitement.
    J'ai tout bon ?
  • Il y a deux énoncés :

    1°) Si X est une partition d'un ensemble E et A un élément de X on peut considérer un nouvel ensemble Y obtenu en gardant tous les éléments de X sauf A que l'on remplace par les singletons de son éclaté. Il est clair que Y "a plus d'éléments" que X car une injection de X dans Y est facile à définir. On dira que Y a été obtenu à partir de X en éclatant A en singletons.

    2°) Tout ensemble non vide "a plus d'éléments" que n'importe laquelle de ses partitions et cela sans l'axiome du choix vu que si X est une partition de E et que l'on éclate en singletons chaque partie de X on obtient un nouvel ensemble Z qui est l'éclaté de E.

    Ca a beau être "très facile", je ne vois pas comment montrer 2°) à partir de 1°). Le problème est quand X est un ensemble infini. J'imagine que quand tu dis qu'il est facile de définir une injection de X vers Y, tu as en tête d'envoyer A vers un des singletons (non ?). Tu CHOISIS donc un singleton. Pas de problème quand tu fais un choix une seule fois. Tu peux même faire des choix autant de fois que tu veux, tant que c'est un nombre fini de fois. Mais dans le 2°), tu seras amené à faire une infinité de choix, c'est-à-dire à utiliser l'axiome du choix. Ou bien ?
  • J'ai relu la fin de ton message, qui me paraît un peu ambigü.
    Tu dis savoir que si l'on voulait "exhiber" une injection, on devrait utiliser l'axiome du choix. Tu sembles espérer montrer l'existence d'une telle injection sans en "exhiber" une, car ça semble "évident".
    Je crois qu'en réalité ce qui te semble "évident", c'est l'axiome du choix. Mais je ne suis pas sûr que "exhiber" soit le bon terme : quand on utilise l'axiome du choix, on n'"exhibe" pas une fonction, on dit seulement qu'il en existe une.
  • db tout le problème est là je voudrais m'exonérer d'avoir à utiliser l'axiome du choix en vertu d'un principe d'évidence à savoir :
    l'éclatement d'une partie de X nous donne un ensemble Y ayant "plus d'éléments" que X à fortiori l'éclatement de toutes les parties de X nous donnera un ensemble Z ayant "plus d'éléments" que X.
    Accepterais-tu ce principe ou te vient-il des objections?
    Bonsoir GB
    non je voudrais justement ne pas à avoir à préciser l'injection en question qui j'en ai bien peur nécessite l'axiome du choix.
  • Je craignais d'avoir compris ton problème : tu remplaces le choix d'un élément dans chaque partie, par le choix d'un bon ordre sur ta partition, de façon à savoir, à chaque étape, quelle partie tu dois éclater.

    C'est donc "axiome du choix" contre "théorème de Zermelo", match nul !!!
  • Non, je n'accepte pas ce principe.

    Mon objection est : ça n'est pas démontré sans axiome du choix !

    Une meilleure objection serait de montrer que ce principe implique l'axiome du choix. Mais il faudrait réfléchir un peu. Si le principe était : à toute partition X de tout ensemble E, il existe une injection X -> Z qui associe à un élément A de X un singleton {a} avec a appartenant à A, alors c'est clair que c'est équivalent à l'axiome du choix. Le problème, c'est qu'on dit seulement qu'il existe une injection X -> Z sans demander explicitement que a appartient à A, donc c'est moins clair.
  • non GB je n'envisage pas l'éclatement des parties de la partition comme résultat d'une succession d'éclatements d'une seule partie mais comme éclatement d'un seul coup de toutes les parties donc pas de nécessité d'utiliser Zermelo. J'utilise le principe d'évidence signalé. Toute la question est la légitimité de ce principe. C'est bien pour cela que je demandais qu'en pensez-vous?
    Autrement dit existe-t-il des évidences telles qu'il est superflu de vouloir les justifier? Ici cela revient à assimiler à une évidence qu'il existera bien une injection de X dans Z sans avoir à la définir ce qui bien sûr nécessiterait l'axiome du choix.
    A priori pour 2 ensembles quelconques X et Z il n'est pas sûr que X s'injecte dans Z alors que si X est une partition d'un ensemble E et Z l'éclaté de Z il est de l'ordre de l'évidence que cette injection existe vu ce qui se passe quand on éclate une seule partie de X. Et dire il existe une injection ce n'est pas appliquer l' axiome du choix. Voilà j'espère que tu auras bien compris le sens de ma démarche
  • >Guy : "Ici cela revient à assimiler à une évidence qu'il existera bien une injection de X dans Z sans avoir à la définir ce qui bien sûr nécessiterait l'axiome du choix."

    Comme j'ai essayé de le dire plus haut, l'axiome du choix dit seulement qu'il existe une telle injection, il n'en exhibe pas une (au sens où l'on connaîtrait les valeurs des images d'une telle injection). Donc je ne comprends pas la différence entre dire
    - "il existe une injection"
    - et "on définit une injection" (au sens où l'on "définit" en utilisant l'axiome du choix).

    Par contre, je vois une différence entre exhiber un objet et montrer l'existence d'un objet. Mais on n'exhibe jamais un objet quand on utilise l'axiome du choix.

    Encore une fois, ce qui pour toi te paraît évident semble bien le fait que l'axiome du choix est "vrai" (c'est-à-dire qu'il correspond à l'intuition que tu te fais des ensembles).
  • Oublions provisoirement le problème de l'injection exhibée ou pas.
    On a une partition X d'un ensemble E, quand on éclate simultanément chaque élément de X en singletons les singletons obtenus sont disjoints distincts deux à deux du fait que les éléments de X sont disjoints deux à deux donc chacun des éléments de X va être remplacé par un ou plusieurs singletons dans Z par conséquent je considère comme une évidence du premier ordre(qui n'a donc pas à être démontrée) qu'en procédant ainsi Z "aura plus d'éléments" que X et que dès lors il existe une injection de X dans Z.
    Autrement dit est-il possible (légitime?) d'affirmer qu'un ensemble "a plus d'éléments" qu'un autre sans être obligé de passer par une injection? Il me semble que dans le cas d'une partition X d'un ensemble E avec éclatement de X en singletons qui donne Z on peut répondre oui.
    Le principe des tiroirs de Dirichlet est une telle évidence que personne n'essaye de le démontrer même si cela est possible. Il est vrai que cela concerne des ensembles finis.
  • Apparemment Y est construit à partir de X en ne changeant que A en son éclaté. UNe fois qu'on a choisit un singleton comme image de A c'est terminé non ? En effet par définition de Y l'injection voulue sera l'identité sur X\A et enverra A sur un singleton.

    Le truc qui me chiffonne, c'est si A est infini. Car la notion même d'éclatement nécessite en gros d'associer à chaque élément de A le singleton lui correspondant. Et là il me semble que AC n'est pas très loin.

    En fait quand on parle de $x \longrightarrow \{x\}$ on est obligé de passer par AC si il y a une infinité de x non ?

    Pour détailler un peu plus mon point de vue : AC est nécessaire dès que l'on veut choisir un élément dans chaque ensemble d'une famille infinie d'ensembles. L'éclaté de A peut se voir comme une famille infinie de singleton, et donc la réciproque de la bijection de GB revient à choisir un élément dans chaque singleton, le tout une infinité de fois...

    Bref le principe d'éclatement est intéressant, mais AC reste caché derrière tout ça...ou alors j'ai raté quelque chose.

    t-mouss
  • A cause d'un problème technique, j'ai envoyé deux fois quasiment le même message (voir le suivant). J'"efface" le doublon.
  • > Uechi Ryu :
    "Apparemment Y est construit à partir de X en ne changeant que A en son éclaté. UNe fois qu'on a choisit un singleton comme image de A c'est terminé non ? En effet par définition de Y l'injection voulue sera l'identité sur Xet enverra A sur un singleton.

    Le truc qui me chiffonne, c'est si A est infini. Car la notion même d'éclatement nécessite en gros d'associer à chaque élément de A le singleton lui correspondant. Et là il me semble que AC n'est pas très loin.

    En fait quand on parle de $ x \longrightarrow \{x\}$ on est obligé de passer par AC si il y a une infinité de x non ?"

    Non.
    Il n'y a pas de problème si A est infini, donc pas de problème pour l'énoncé 1°). Le problème, c'est s'il y a une infinité de A, ce qui peut être le cas dans l'énoncé 2°).

    > Uechi Ryu :
    "la réciproque de la bijection de GB revient à choisir un élément dans chaque singleton, le tout une infinité de fois...

    Bref le principe d'éclatement est intéressant, mais AC reste caché derrière tout ça...ou alors j'ai raté quelque chose."

    Que veut dire "choisir un élément dans chaque singleton" ? Il n'y a pas de choix. Ce n'est pas ici que l'on a besoin de AC.
  • J'essaie toujours de comprendre.

    Je note $P_1$ la proposition : $\forall x \in X, \ x \neq \emptyset$,
    et $P_2$ la proposition : $\forall x \in X, \ \forall y \in X, \ (x \neq y \Rightarrow x \cap y = \emptyset)$.

    Pour tout ensemble $X$, on note $E = \bigcup\limits_{x \in X} x$ et $Z = \bigcup\limits_{x \in E} \{x\}$

    On considère le résultat :
    "Pour tout ensemble $X$ satisfaisant $P_1$ et $P_2$, il existe une injection de $X$ dans $Z$."
    et l'on veut savoir si ce résultat implique l'axiome du choix.

    C'est ça ?
  • gb quand tu écris "et l'on veut savoir si ce résultat implique l'axiome du choix." le "implique" me choque car je ne pense pas que l'on puisse dire qu'un résultat implique l'axiome du choix i.e. qu'il est impossible de prouver le résultat sans
    utiliser AC. On peut tout au plus dire : on sait prouver ce résultat avec AC ou encore personne jusqu'ici n'a réussi à prouver ce résultat sans utiliser AC. Aussi pour les résultats prouvés avec AC il est tout naturel de tester la nécessité de AC.
    Par exemple le théorème de Cantor-Bernstein admet une preuve en zornifiant donc avec AC, on aurait pu s'en tenir là mais en l'occurence quelqu'un a trouvé une preuve constructive et donc il n'y avait pas nécessité d'utiliser l'AC.
    Pour le fond j'ai expliqué mon point de vue dans mon dernier post. J'invoque un principe d'évidence (Z "a plus d'éléments" que X) auquel on peut adhérer ou pas; si on y adhère cela permet d'éviter le recours à l'AC.
    Tes notations ne font pas bon ménage avec les miennes où X désigne une partition d'un ensemble E.
  • Je suis choqué par le fait que tu sois choqué.

    Tu confonds deux choses :
    1°) il est vrai que ce n'est pas parce qu'un énoncé est prouvé avec AC qu'on ne pourrait pas le prouver sans AC ;
    2°) aucun énoncé n'implique AC (!).

    Je crois que gb a très bien résumé la situation. Pour te convaincre, le mieux serait de donner une preuve qu'effectivement cet énoncé implique AC.
    C'est sûrement ce que gb va faire dans son prochain message...
  • Guy PHILIPPE a écrit:
    le "implique" me choque car je ne pense pas que l'on puisse dire qu'un résultat implique l'axiome du choix

    On montre bien que le théorème de Zermelo, ou celui de Zorn, implique l'axiome du choix...
    Guy PHILIPPE a écrit:
    Tes notations ne font pas bon ménage avec les miennes où X désigne une partition d'un ensemble E

    Lorsque je définis E comme la réunion des éléments de X, deux à deux disjoints sous l'hypothèse P2, X est bien une partition de E.
  • bonjour,
    il me semble que cette question a déjà été abordée sur le forum.

    AC <=> toute surjection admet une section

    toute surjection admet une section => tout ensemble a au moins autant d'éléments qu'une de ses partitions (i.e. il existe une injection d'une partition d'un ensemble dans cet ensemble)

    La réciproque est loin d'être évidente, j'imagine qu'elle est fausse. (i.e. on pourrait trouver un modèle de ZF + ¬AC où cette injection existerait toujours, conservant les espoirs de Guy de le démontrer sans AC :) )
  • le variable et x donc si enprend un notre sa doit etre lui mème si nn sa deviendra une forme giometriqe sa peus etre complexe /les nombre comlexe/
  • Autant pour moi GB pour ce qui concerne tes notations quant à un résultat qui implique l'AC évidemment je ne pensais pas aux cas que tu signales car tous ces énoncés Zorn, Zermelo et AC étant équivalents du point de vue logique c'est comme si il n'y en avait qu'un. Je pensais plutôt à des énoncés comme "tout K-ev admet une base" ou Hahn-Banach ou d'autres qui sont classiquement démontrés en s'appuyant sur l'AC ou un de ses équivalents.
    Si quelqu'un montre que (Z "a plus d'éléments" que X===> AC) alors je m'inclinerai bien bas mais encore une fois ce que j'aurais aimé connaitre c'est votre "sentiment" au sujet de la démarche suivante :
    Quand on éclate un élément d'une partition X d'un ensemble E on obtient un nouvel ensemble ayant "plus d'éléments " que X donc la propriété sera a fortiori vraie si on éclate simultanément tous les éléments de X en tenant compte bien sûr que tous les singletons obtenus sont distincts deux à deux.
    Pour moi c'est une évidence du premier ordre et vous qu'en pensez-vous ?
    Evident ou pas ?
  • Dès que l'on aborde ce genre de problème, les "évidences" ne me paraissent plus aussi "évidentes", et je préfère un bon argument dûment répertorié, mais pour l'instant, je n'en vois aucun.
  • Bonsoir Guy Philippe,

    Je n'ai (encore?) rien de pertinent à dire sur ton problème (je découvre le fil), mais je me permets de te signaler ce fil sur les valeurs d'adhérence de ncos(n) (qui n'a donc absolument pas le moindre rapport :P) car tu sembles ne pas avoir fréquenté le forum quand il était en première page (donc tu as pu le louper) et il se peut qu'il t'intéresse.

    Désolé pour la pollution du fil, j'essaierai de me rattraper en écrivant quelque chose de pas trop bête en rapport avec ta question.
  • Salut à tous les matheux et notamment à barbant raseur,
    effectivement la suite ncos(n) m'intéresse encore que c'est plutôt n|sin(n)| vu que si liminf(n|sin(n)|) n'est pas 0 alors on peut montrer que 2 est bien la mesure optimale d'irrationnalité de pi. J'irai bien sûr faire un tour sur ce fil.
    Si ces questions t'intéressent j'ai commis deux articles sur le sujet publiés sur Quadrature et que l'on trouve sur le site en cliquant à partir de la page d'accueil sur théorème de Cantor-Bernstein (rubrique "au hasard" dans la marge gauche) puis sur "revenir à la première page" où tu trouveras tous les articles publiés sur le site dont les deux dont je parlais à savoir:
    comportement asymptotique des petites valeurs de |sin(n)| et
    Analyse trigonométrique entière intrinsèque
    Autre chose si tu veux participer à ce fil va directement lire l'énoncé en bleu.

    Bonjour GB,
    Je respecte bien évidemment tes réticences devant les évidences toujours contestables mais aurais-tu des arguments plus précis ou est-ce plutôt ton "sentiment" sur la question?
  • "Quand on éclate un élément d'une partition X d'un ensemble E on obtient un nouvel ensemble ayant "plus d'éléments " que X donc la propriété sera a fortiori vraie si on éclate simultanément tous les éléments de X en tenant compte bien sûr que tous les singletons obtenus sont distincts deux à deux.
    Pour moi c'est une évidence du premier ordre et vous qu'en pensez-vous ?
    Evident ou pas ?"

    Non. Essayons d'argumenter.
    Je note P l'énoncé : "Pour tout ensemble E, pour toute partition X de E, il existe une injection de X vers E".
    Je note P' l'énoncé: "Pour tout ensemble E, pour toute partition X de E, il existe une injection i de X vers E telle que pour tout A appartenant à X, i(A) appartient à A."

    Au fil de tes messages, il y a une ambiguïté sur ce que tu nous demandes d'accepter : P ou P' ?

    Je crois que c'est clair que P' équivaut à AC (quelqu'un n'est pas d'accord ?) donc il n'y pas plus (ni moins) de raisons d'accepter P' que AC.

    Quant à P, je vois trois possibilités :

    1°) P est démontrable sans AC, alors dès qu'on aura une preuve, tout le monde acceptera ce "principe" puisque ce n'en sera plus un!

    2°) P => AC, c'est-à-dire P<=>AC, et alors la situation est la même que pour P'.

    3°) P n'est pas démontrable sans AC et n'implique pas AC.
    P est-il alors "légitime" comme axiome ? C'est comme cela que l'on pourrait comprendre ta question demandant si c'est une "évidence". On vivrait alors dans un monde où P n'implique pas P', c'est-à-dire qu'il peut y avoir des injections de X dans E sans qu'il n'existe d'injection i de X vers E telle que i(A) appartient à A. Je ne suis pas sûr que ce monde-là serait plus proche de l'intuition que tu te fais des ensembles ! D'autant que pour nous aider à accepter P, en réalité tu donnes des arguments informels (l'éclatement de tous les éléments de X en singletons) pour accepter P' ! En fait, dans ce cas, si on acceptait P, ton intuition sur l'éclatement en singletons serait... fausse.

    Voilà comment je vois les choses actuellement. Bien sûr, on y verrait plus clair si on savait dans quel cas on se situe réellement.
  • En fait, je crois que l'on est dans le 2ème cas, c'est-à-dire P => AC, où P est l'énoncé "pour tout ensemble $E$, pour toute partition $X$ de $E$, il existe une injection de $X$ vers $E$."

    En effet, soit $p$ une surjection de $E$ vers $Y$. On pose $X = \{ p^{-1}(y) ; y \in Y \} $ : c'est une partition de E donc, par P, il existe une injection $ i $ de $ X $ vers $E$. La fonction de $Y$ vers $E$ qui à $y$ associe $i(p^{-1}(y))$ est une injection.

    Il est tard, ça sera mon excuse si j'ai écrit une grosse bêtise.
    Guy, dis-nous si tu es convaincu.

    Une morale possible : sans AC, "$Y$ a plus d'éléments que $X$" est un énoncé ambigü, car il peut vouloir dire :
    1) il existe une injection de $X$ vers $Y$ ;
    2) il existe une surjection de $Y$ vers $X$.
    On peut quand même dire qu'un ensemble quelconque a plus d'éléments qu'une partition quelconque de cet ensemble au sens 2), mais pas au sens 1).
  • db> tu as montré que moyennant P, toute surjection de A sur B admet une injection de B dans A, mais AC c'est "toute surjection admet une section", non ?
  • Bonjour db,
    Tout d'abord merci pour ta contribution et ta réflexion, preuve que le sujet ne te laisse pas indifférent.
    C'est bien sûr l'énoncé P auquel je pensais en effet, l'outil privilégié pour la comparaison de la "grosseur" des ensembles infinis est l'injection (j'écarte la surjection ici) mais pour autant je me demande si on ne pourrait pas imaginer d'autres démarches pour comparer les ensembles infinis.
    Par exemple soit un ensemble infini E formé de paires disjointes, si on éclate simultanément toutes les paires on va obtenir un ensemble Y ayant "plus d'éléments que E" au sens naïf et intuitif car 2>1. Pour moi cela est incontestable et partant de là comment voudrais-tu qu'il n'existe pas une injection de E dans Y?
    Rions un peu!
    Si chaque vache d'un troupeau infini vêlait et mettait bas deux petits veaux serait-il irraisonnable de penser qu'il y aurait plus de veaux que de vaches et que le vacher s'il est mathématicien en déduise qu'il sera possible d'établir une injection entre vaches et veaux dans le sens attendu? Pratiquement il pourrait choisir le premier né comme image de chaque vache.
    Quand à prouver ou infirmer ce principe d'évidence hors AC je n'y crois pas trop.
    On peut adhérer ou pas à ce principe selon son inclinaison naturelle. Toi tu n'adhères pas, c'est ton droit le plus strict et moi j'y adhère.
  • Il était tard... GG a raison.

    Guy> "On peut adhérer ou pas à ce principe selon son inclinaison naturelle. Toi tu n'adhères pas, c'est ton droit le plus strict et moi j'y adhère."

    Je ne suis pas sûr que le problème se pose en ces termes.

    1) Je ne vois rien d'évident quand on parle d'un troupeau INFINI de vaches.

    2) Quand on parle d'ensembles, on parle d'un modèle de ZF, et ce n'est pas évident qu'il en existe un, mais comme d'habitude on supposera qu'il en existe un.

    3) Une fois cette hypothèse faite, alors on sait qu'il existe des modèles où AC est faux.

    4) En analyse, les fonctions continues ne se comportent pas comme notre intuition pourrait le prédire ; on l'accepte et on dit qu'il ne faut pas s'y fier. Pourquoi ne pas avoir la même démarche pour les ensembles, qui sont des objets encore plus abstraits ?

    Je préfère poser les questions en ces termes : quels énoncés peut-on déduire de quels axiomes ? Comme l'a remarqué GG, la question n'est pas résolue de savoir si l'on peut déduire AC de P. Je trouve qu'il serait plus intéressant de répondre à cette question que d'essayer de convaincre autrui que P est vrai en faisant appel à l'intuition pour ensuite conclure que chacun est finalement libre de penser ce qu'il veut.

    Pour moi, l'intérêt de ton fil est précisément d'avoir posé cette question, qui reste ouverte jusqu'à présent.
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