Trouver la probabilité d'ordre d'un triplet a partir de couplets

Vanished

Salutations,

Je suis novice en probabilité et je suis confronté à un petit problème qui ne vous resistera pas .

Mettons 3 coureurs A, B et C. Ils commencent par faire quelques duels.

*Les coureurs A et B courent ensemble 4 fois, sur ces 4 courses, A arrive premier 3 fois. S'ils courent encore la probabilité que A gagne est donc de 75% et celle de B 25%.

*Les coureurs B et C courent ensemble 4 fois, sur ces 4 courses, C arrive premier 2 fois. S'ils courent encore la probabilité que C gagne est donc de 50% et celle de B également.

*Les coureurs A et C courent ensemble 4 fois, sur ces 4 courses, C arrive premier 3 fois. S'ils courent encore la probabilité que C gagne est donc de 75% et celle de A est de 25%.

Maintenant, les 3 coureurs vont concourir ensemble dans une même course et on souhaite déterminer la probabilité que possède C d'arriver premier sur trois.

Je vous explique donc mon raisonnement qui est probablement faux : on additionne les probabilités de victoire de chaque coureur en duel. On obtient donc C:125%, A:100% et B:75% sur un total de 300%. On divise donc toutes ces probabilité par 3 et on obtient la probabilité qu'a chaque joueur d'arriver premier à la grande course soit : C:42%, B:25% et A:33%.
Sans même parler de la justesse du raisonnement, ces résultats semblent cohérents.

Cependant prenons le cas où lors des duels, A gagne dans 100% des cas contre B et C gagne dans 100% des cas contre A et B. En suivant le même raisonnement que précédemment on obtient que la probabilité que C arrive en tête du classement de la course comportant les trois coureurs est de 66% alors qu'il semble évident que la probabilité de victoire est de 100% (puisque il bat A et B dans 100% des cas individuellement).

Voilà, donc ma question est de savoir comment on peut conjecturer le résultat de la course comportant les 3 coureurs à partir des duels.

Merci a vous

GERARD à la maison

Bonjour.

Je vois bien ce que tu veux dire, mais j'ai peur qu'il soit difficile de mathématiser vraiment.
J'ai d'ailleurs deux critiques :
Tout d'abord, la compétition à trois n'est pas une généralisation de la compétition à deux (voir le célèbre "truel" du film "le bon, la brute et le truand"). Pire, les résultats deux à deux peuvent être contradictoires avec le résultat à trois (paradoxe de Condorcet).
Ensuite, ta présentation des situations est loin d'une situation de probabilités : "Les coureurs A et B courent ensemble 4 fois, sur ces 4 courses, A arrive premier 3 fois. S'ils courent encore la probabilité que A gagne est donc de 75% et celle de B 25%." ? ? ? Pouvait-on inférer des défaites de Mittérand aux présidentielles de 1965 et 1974 qu'il allait perdre en 1981 ? La situation que tu présentes n'est donc pas probabiliste.
Ma deuxième critique est relative, on peut mettre en place des situations aléatoires véritables dans lesquelles A est devant B dans 75% des cas, B est devant C dans 50% des cas et C devant A dans 75% des cas. Mais, et je reviens à ma première critique, alors ces cas ne sont pas des cas de compétition à 3 (En termes probabilistes, ce n'est pas le même univers), sinon, il arriverait que on ait à la fois A deavant B, B devant C et C devant A.

Cordialement

Vanished

C'est ce que je craignais.
On peut cependant simplifier le problème en remplaçant les coureurs par des machines qui au début de la course vont choisir une vitesse aléatoirement et la garder tout au long de la course.

Mes réflexions sur ce sujet m'ont amené à une question que j'ai des difficultés à résoudre :

*On choisi un nombre A tiré au hasard avec équiprobabilité dans l'intervalle [0.293; 1.293]
*On choisi un nombre B tiré au hasard avec équiprobabilité dans l'intervalle [0.000;1.000]
*L'intersection des deux intervalles vaut 0.707

La probabilité que B gagne est de 0.707²/2=25%. La probabilité que A gagne est donc de 75%. Un simulation que j'ai faite corrobore ce résultat.
J'aimerai connaître un moyen de déterminer directement la probabilité qu'a A de gagner sans passer par le calcule ci-dessus et donc de trouver 75% sans passer par 1-0.25.

Est-ce possible ? J'avais pensé a additionner les probabilités des différents noeuds ((1-0.707)+(0.707²/2)), mais le résultat obtenu n'est pas 75%.

GERARD

Bonjour.

Je ne comprends pas tout ce que tu racontes (en particulier le passage "J'avais pensé a additionner les probabilités ...", qui donne l'impression que tu calcules sans savoir pourquoi), mais tu mathématises le problème, et il a changé.
Donc tu utilises 2 variables aléatoires A et B avec P(A > = 0.75. Je ne sais pas d'où sort le 0.293, et encore moins pourquoi utiliser des lois uniformes. Mais en tout cas, la façon de traiter le cas A+B+C va dépendre très fortement de ton choix de modèle sur les cas A+B et B+C.

Par contre, si tu connais les lois de A, B et C, et qu'elles sont indépendantes (c'est ce que tu utilises ici. Tu aurais pu prendre B = A*D avec D qui prend une valeur inférieure à 1 dans 25% des cas et supérieure à 1 le reste du temps; A et B n'auraient plus été indépendantes), donc si tu connais les lois de A, B et C, et qu'elles sont indépendantes, la loi du triplet (A,B,C) est connue. Elle se construit avec les lois de A, B et C qui sont les marginales des lois de (A,B), (B,C) et (C,A).
Mais on est très loin des courreurs ...

Cordialement.

NB : Rappel : Avant de simuler, une bonne connaissance de la théorie est utile, nécessaire même.