les modèles (logique propositionnelle)

Bonjour,
Je suis entrain de commencer un cours de logique propositionnelle, et j'ai vraiment du mal avec les modèles. Ce que j'ai compris (et c'est peut être faux !), c'est qu'un modèle est une fonction qui permet de savoir si une formule est juste ou non. Est ce bien ça? Si oui, alors je ne comprends pas comment définir les modèles de, par exemple, (p ou q) appartenant à v(L) l'ensemble des formules de L.
Quelqu'un peut il m'aider?
Merci d'avance
Dawn

Réponses

  • En logique propositionelle (dite du premier ordre si je ne m'abuse), un modèle consiste simplement en une manière de choisir une valeur de vérité pour chacune des variables de base.

    Donc ce que tu dis n'est pas tout à fait vrai, un modèle ne permet pas de savoir si une proposition est vrai ou fausse. Une proposition sera vraie ou fausse suivant le modèle que tu choisis.

    Si je ne me trompe pas, les modèles pour (p ou q) sont donc simplement

    p=1 q=1
    p=0 q=1
    p=1 q=0
    p=0 q=0


    Moralement, en logique, l'idée est qu'il y a d'un coté la theorie logique, et de l'autre le modele, et le modele est une sorte "d'incarnation concrete" de la theorie. En gros, en logique on s'occupe de deduire de nouvelles formules à partir d'ancienne en utilisant certaine regle, alors que dans un modele on s'interresse à la notion de vrai ou faux.. On dit d'une proposition qu'elle est vraie si elle est verifiée dans tous les modèles. En logique du premier ordre, il y a equivalence entre "etre vraie" et "etre prouvable en utilisant les règles de deduction du calcul propositionnel".
  • jobherzt Écrivait:
    >un modèle consiste simplement en une manière de choisir une valeur de vérité
    pour chacune des variables de base.

    Pour moi un modèle d'une théorie (éventuellement vide) est essentiellement constitué d'un ensemble et d'interprétations des constantes, fonctions et relations du langage, qui vérifient les axiomes de la théorie, un exemple simpliste : (Z/2Z, +) est un modèle de la théorie des groupes
  • Oui, mais attention Mediat, ce que tu dis es valable pour la logique d'ordre superieure. La on parle de modèle dans un cadre ou on n'a pas encore de quantificateur, par exemple. Dans ce cas un modèle est bien ce que j'ai dit, et on a un theoreme de complétude comme je l'expliquais.

    Moralement, on parle ici du "systeme de raisonnement", donc pour l'instant c'est de la logique pour la logique, les axiomes sont des procédés de deduction.
  • Merci beaucoup de votre aide !
    Je comprends mieux maintenant :)
    dawn
  • Je ne sais pas si ça va t'aider ou mettre de la confusion par rapport aux définitions "officielles" de ton cours, mais:

    Les mots "vrai" et "faux" étant non définissables en mathématiques, comme très souvent, on raisonne en maths en déchargeant la responsabilité de leur sens sur un "extérieur".

    On dit qu'ils doivent être "donnés" (tu sais toutes les exercices qui commencent par, "ceci et cela étant donné..."

    Et un modèle est juste... cet extérieur qui les donne.

    Alors pour te réprésenter un modèle tu veux la voir comme suit:

    Au départ, on a des phrases (ce sont des constructions symboliques) mais on ne sait pas encore si elles sont vraies ou fausses. On demande donc à un "modèle" de se prononcer.

    Définition: un "prémodèle" est une application de l'ensemble des phrases dans la paire {vrai;faux}

    Définition: un modèle est un prémodèle "correct".

    Par "correct", on entend une liste d'exigences pour que les connecteurs "et" ; "ou"; "implique" etc soient respectés par le modèle:

    Pour "et" le modèle ne peut attribuer la valeur "vrai" à "A et B" s'il a attribué la valeur "faux" à l'une au moins des phrases A,B. Ainsi un prémodèle M est incorrect pour "et" dès qu'il existe A,B avec M(A)="faux"; M(B)="vrai"; M(A et B)="vrai".

    Je pense que tu devineras facilement les autres exigences pour "et"; "ou"; etc.

    Si tu veux du formel, il y a une liste de triplets* de la forme [(A,v); (B,w);(AcB, u)] où A,B sont des phrases c un connecteur v,w,u des éléments de {vrai;faux} qui sont des "attestations d'incorrectitude". Exemple: [(A,vrai);(B,faux);(A ou B, faux)]

    Un modèle est un prémodèle tel que son graphe ne contient (en tant que sous-ensemble) aucune attestation d'incorrectitude

    Cette idée s'étend sans problème à toutes les logiques classiques (de quelque ordre que ce soit, en rajoutant de nouvelles attestations d'incorrectitude)


    Pédagogiquement, les logiciens se servent du fait qu'un modèle correct est déterminé par sa restriction aux variables propositionnelles pour le "définir" souvent comme une application des variables dans {vrai, faux} (qui se prolongera alors de manière unique): mais c'est une "mauvaise" façon de voir et rend le théorème de complétude (qui n'est qu'une reformulation de la détermination des jeux à information parfaite) moins intuitif.

    Avec la notion que je te donne tu "vois" le théorème de complétude: pour chaque phrase tu demandes au sceptique s'il la "désire" vraie ou fausse (il construit donc un prémodèle) et dès que tu tombes sur un "incorrection" (dès qu'il dit une connerie) tu le bats en quelques coups. Si une formule n'a pas de modèle, le sceptique en dira forcément une avant la "fin" donc il n'a pas de stratégie gagnante. Si tu as toi une stratégie gagnante tu l'écris et ça te donne EXACTEMENT une preuve de la négation de ta formule.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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