Aide SVP

leslie2

Bonsoir,

Je vous prie de bien vouloir m'aider pour cet exercice, je me perds dans tous les calculs et je n'arrive pas à aboutir sur quoi que ce soit :

On considère le disque unité privé de l'axe des abscisses et des $x$ positifs ou nuls.
Représenter le domaine $D$.
Montrer que la fonction $\displaystyle f(r,\theta)= r^{a} \sin(a\theta) $ en coord. pol. pour $0< a \leq 2$ est telle que :
$\displaystyle \Delta f(x)=0 $ pour $x \in D$;
$\displaystyle \lim_{x>0,y\to 0^{+}} f=0$ ;
$\displaystyle \lim_{x>0,y\to 0^{-}}\partial_{n}f=0 $ ;
$\displaystyle f|_{y\neq 0,r=1}= \sin (\theta \pi/2)$.

En vous remerciant par avance pour votre aide.

[Remplacé le $s$ par $f$ selon ton indication. AD]

moi0200

Bonjour Leslie
ton énoncé n'est pas très clair : quel est le lien entre $f$ et $s$ ?

leslie2

Je suis désolée, j'ai fait une coquille. En fait $f=s$ , autant pour moi.
En espèrant fermement que vous pourrez venir à mon secours.

moi0200

Ton énoncé ne paraît pas très clair. Pour le laplacien tu peux le calculer en coordonnées polaires via les formules $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}$ et $r=\sqrt{x^2+y^2}$ $\theta=\arctan(\frac{y}{x}$ idem pour $y$ et ça marche. Tu peux peut-être le faire aussi en écrivant $f$ en coordonnées cartésiennes mais les calculs ont l'air moins sympas. Le reste je réfléchis encore

leslie2

Merci j'ai utilisé cette formule mais c'est surtout pour le reste que je suis bloquée.
Je vous prie de me venir en aide s'il vous plait...

leslie2

PS: Je me suis également trompée sur le domaine: le disque est aussi privé du cercle unité... Merci par avance pour votre amabilité.

bs

Bonjour,

Arrête Christophe, tu es démasqué: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,368488,386506#msg-386506 :P

Bonne journée.

gilles benson

+1 pour bs

bisam

C'est dommage qu'il n'ait pas pensé à mettre une photo avantageuse (de Kristin Kreuk ou autre), lui... (:P)

leslie2

Désolée messieurs mais il ne s'agit pas de Christophe, je suis bel et bien Leslie. Et celà m'arrangerait énormément si vous pouviez me rendre service en m'aidant à résoudre mon exercice au plus vite. Merci.

Remarque0

A mon avis, Leslie n'est pas cc, ce n'est pas du tout son style. Pour la vraie Leslie, alors, le Laplacien en polaire est donné par
$$\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial \theta^2}.$$
Ici $f=r^{a}\sin(a\theta)$, donc (en dehors de $r=0$)
$$\frac{\partial f}{\partial r}=ar^{a-1}\sin(a\theta),\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}=a(a-1)r^{a-2}\sin(a\theta),\frac{\partial f}{\partial \theta }=ar^{a}\cos(a\theta),
\frac{\partial^2f}{\partial \theta^2}=-a^2r^{a}\sin(a\theta)$$
d'où
$$\Delta f=(a(a-1)+a-a^2)r^{a-2}\sin(a\theta)=0,$$
(tu peux aussi remarquer que $f$ est la partie imaginaire de $z^{a}$, donc elle est harmonique là où elle définie).

Pour les limites, je ne vois pas comment on peut avoir $x>0$ si $D$ est privé des $x$ positifs ou nuls (c'est pas plutôt négatifs ou nuls ???). Enfin bon, on réécrit en polaire : $y\to 0^+$ avec $x>0$ (je présume que \c ca signifie que $x$ est fixé, car c'est mal écrit) est équivalent à $\theta\to 0^+$, $r\to x$, donc
$$ \lim_{x>0,y\to 0^{+}} f=\lim_{r\to x,\theta\to 0^+}r^{a}\sin(a\theta)=x^{a}\sin(0)=0,$$
mais pourquoi on se casse la tête avec des limites alors que la fonction est manifestement continue, mystère.

Ensuite, c'est quoi $\partial_{n}f$ ? Enfin, si $r=1$, $\theta\in{]-}\pi,\pi[$, la fonction est tout ce qu'il y a de continue aussi et $f(1,\theta)=\sin(a\theta)$.

leslie2

Merci beaucoup beaucoup pour votre aide. Je commençais à désespérer.
Alors je vous met mon sujet pour bien voir que c'est ainsi qu'il est posé.

Quant à $ \partial_{n}f$ il s'agit en fait de la dérivée normale :
$ \partial_{n}f= \partial f/\partial n = n\nabla s = \Sigma n_{i}\partial s/ \partial x_{i} $

Encore merci de continuer à m'aider.

Remarque0

D'accord. C'est super mal rédigé comme exo ($x\in\R^2$ et $x\ge 0$ dans la même formule, etc.). Enfin, peu importe. Donc $\Omega$ est le disque unité ouvert privé du segment $[0,1]$. Implicitement, \c ca veut dire que l'angle polaire est pris entre $0$ et $2\pi$, et non pas entre $-\pi$ et $\pi$. Soit. Donc pas de changement pour la première limite.

Pour la deuxième, \c ca n'a aucun sens de prendre la limite de la dérivée normale, qui n'est définie que sur le bord, pour des valeurs situées à l'intérieur. Mais on n'est pas à \c ca près dans cet exercice. Par contre, il est facile de calculer la dérivée normale sur le bord de $\Omega$. C'est $\frac{\partial f}{\partial r}=\alpha\sin(\alpha\theta)$ sur un point du cercle d'angle polaire $\theta$ et c'est $\pm\frac{\partial f}{\partial y}=\pm\frac1r\frac{\partial f}{\partial \theta}=\pm\alpha r^{\alpha-1}$ sur le segment $[0,1]$ (où la dérivée normale n'est pas vraiment super bien définie puisque l'ouvert est des deux côtés du bord, d'où le $\pm$). J'intuite que l'énoncé demande la limite de l'expression sur le cercle quand $\theta\to 0$ qui vaut clairement $0$.

Enfin la dernière relation reste $f(1,\theta)=\sin(\alpha\theta)$ qui ne coïncide avec celle de l'énoncé que pour $\alpha=\pi/2$.

leslie2

Excusez moi mais je ne vois pas pourquoi c'est seulement privé du segment $ [0,1]$.
Je pensais que c'était privé de tout le demi-cercle droit et du seqment $[-1,0]$ pour lequels $ y=0 et x\ge 0$. Enfin c'est comme celà qu'on nous l'avait indiqué.
Du coup l'angle polaire serait compris entre $\pi/2$ et $ -\pi /2 $.

Par ailleurs, je ne sais pas du tout comment se calculent les dérivées normales... Quelles sont les composantes de la normale? Quelle formule faut-il utiliser? J'avoue que là je suis à coté de mes pompes.

Encore merci.

Remarque0

Voici l'ouvert $\Omega$, c'est-à-dire le disque unité privé des points tels que $y=0$ et $x\ge 0$, soit le segment $[0,1[{}\times\{0\}$ pour être plus clair.

leslie2

D'accord. C'est la grande classe ce dessin. Merci.
Peut-on bien dire que le domaine est ici irrégulier?
Au final on a donc:
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial n}(x) =\alpha \sin(\alpha\theta_{0})$ ?

Remarque0

Oui, c'est un domaine irrégulier, pas très méchant, mais irrégulier quand même. Et oui pour la dérivée normale.

leslie2

Très bien. C'est parfait. Merci beaucoup pour votre patience. Pas facile de décrypter un exercice quand il est mal rédigé et que l'on vous dessine un domaine faux.

Une dernière question svp: la dérivée normale est-elle la même sur le segment $[0,1]$? En quoi la limite est-elle à nouveau 0?

De nouveau merci d'être venu à mon secours et de m'avoir aussi bien éclairée.

Remarque0

Non, en fait la dérivée normale n'est pas définie sur $[0,1]$ puisqu'il n'y a pas de vecteur normal unitaire \emph{extérieur}. Il y a une dérivée \og\ par en dessus \fg\ et une \og\ par en \fg, qui sont opposées et valent $\pm\alpha x^{\alpha-1}$.

leslie2

D'accord. Mais pourquoi existe-t-il sur le bord du cercle alors que f n'y est pas définie et non pas sur le segment?
On n'en a donc pas besoin pour répondre à la question?
Je suis vraiment à l'ouest aussi je suis désolée pour ces questions idiotes.

Remarque0

Bien sûr que $f$ est définie sur le bord du disque, et même au delà. Elle est définie et de classe $C^\infty$ sur $\R^2\setminus [0,+\infty{[}\times\{0\}$. On la restreint au disque unité, c'est tout. Elle n'est pas définie sur le segment car l'angle polaire y saute de $0$ à $2\pi$. Si $\alpha$ n'est pas demi-entier, il y a une discontinuité à cet endroit.

Remarque0

Ah oui ! \og\ Il \fg\ se réfère au vecteur normal ? Ca n'a rien à voir avec $f$, c'est lié au domaine : le disque a un vecteur normal unitaire extérieur assez trivial, non ?

leslie2

Ouh là! Je suis navrée mais je ne vous suis plus...

Remarque0

A quel endroit ?

leslie2

Je ne comprend pas trop le saut de discontinuité avec l'histoire l'angle polaire. On peut prendre r=1 mais pas $\theta = 0$?

Que faut-il exactement mettre pour répondre à la question $ \displaystyle \lim_{x>0,y\to 0^{-}}\partial_{n}f=0 $ alors?

Encore un grand merci.

leslie2

Je ne comprend pas trop le saut de discontinuité avec l'histoire l'angle polaire. On peut prendre r=1 mais pas $\theta = 0$?

Que faut-il exactement mettre pour répondre à la question $ \displaystyle \lim_{x>0,y\to 0}\partial_{n}f=0 $ alors?

Encore un grand merci.

Remarque0

La seule réponse qui ait un sens, c'est de prendre la dérivée normale là où elle est définie, c'est à dire sur le cercle moins le point $(1,0)$ et faire tendre $y$ vers $0^-$ sur ce cercle, ce qui équivaut à faire tendre l'angle polaire vers $2\pi$ (comme on est sur le cercle, $r=1$). Tu trouves donc
$$\frac{\partial f}{\partial n}(x)=\alpha\sin(\alpha\theta_{0})\to \alpha\sin(\alpha2\pi),$$
et il te reste à voir pour quelles valeurs de $\alpha$ ceci vaut $0$ (note bien que l'énoncé parle de \og\ valeurs convenables de $\alpha$ \fg).

leslie2

D'accord, donc quand vous marquiez :

\begin{quote}{\bf remarque} C'est $ \frac{\partial f}{\partial r} = \alpha\sin(\alpha\theta)$ sur un point du cercle d'angle polaire $ \theta$ et c'est $ \pm\frac{\partial f}{\partial y} =\pm\frac 1 r\frac{\partial f}{\partial \theta} = \pm\alpha r^{\alpha-1}$ sur le segment $ [0;1]$ (où la dérivée normale n'est pas vraiment super bien définie puisque l'ouvert est des deux côtés du bord, d'où le $ \pm$). J'intuite que l'énoncé demande la limite de l'expression sur le cercle quand $ \theta\to 0$ qui vaut clairement 0. \end{quote}

Vous vouliez en fait parler de $ \frac{\partial f}{\partial n}$ et la limite se fait plutôt quand $ \theta\to 2\pi$.
Donc on trouve en résumé :

Pour le laplacien : $ \displaystyle \Delta f(x)=0 $ pour $ x \in D$ quelque soit $\alpha $;

Pour la première limite : $ \displaystyle \lim_{x>0;y\to 0^{+}} f=0$ quelque soit $\alpha $;

Pour la seconde : $ \displaystyle \lim_{x>0;y\to 0^{-}}\partial_{n}f=0 $ pour seulement $\alpha \in \{\frac 1 2,1,\frac 3 2,2\} $;

Et enfin pour la dernière : $ \displaystyle f\vert _{y\neq 0;r=1} = \sin (\theta \frac {\pi} 2)$ seulement pour $\alpha = \frac {\pi} 2$

Est-ce bien cela ? Ou je m'égare encore...
Toujours et de nouveau merci.

[Pour 1 \$ de plus AD]
[Merci à Remarque pour la correction du LaTeX. AD]

leslie2

Merci Monsieur AD!
[Et n'oublie pas Remarque dans tes remerciements AD]

le barbant raseur

Leslie a écrit:

Pourquoi mon texte ne s'affiche pas?! Alors que le code LaTex oui...?!

Parce que ton code contient une erreur. Patience, AD est semble-t-il en train de le corriger. En attendant, le code suffit à se donner une idée du message.

Pour éviter ce genre d'écueils, tu peux
- cliquer sur "aperçu" avant d'envoyer tes messages. L'aperçu te révélera les messages contenant des fautes.
- t'enregister. Ainsi, en cas d'erreur non repérée en amont, tu peux modifier tes messages ce qui évite de "polluer" le forum et de surcharger de travail saint AD.

Edit : pendant que je postais, remarque et AD ont résolu le problème . Mais je maintiens mes conseils.


PS : je ne suis pas compétent pour répondre à tes question de maths dans ce domaine. :-(

Remarque0

Et la réponse à toutes ces questions est enfin, oui. Mais méfie-toi qu'au début je croyais que l'angle polaire était pris entre $-\pi$ et $\pi$, alors qu'il est en fait entre $0$ et $2\pi$. Donc $y\to O^+$ à $x$ positif correspond bien à $\theta\to 0$ et $y\to O^-$ à $x$ positif à $\theta\to 2\pi$.

leslie2

Oui. C'est pour cela que la première limite quand $ y\to O^+$ est clairement nulle quelque soit $\alpha $ puisqu'elle correspond à $ \theta\to 0$ alors que la seconde demande des valeurs convenables de $\alpha $.

Mille Merci Monsieur Remarque pour votre patience et vos compétences.

PS: Merci à Messieurs AD et Remarque qui sont devenus mes Maîtres LaTeX.
Merci à Mr Barbant Raseur pour ses conseils avisés.

[Un instant, je me suis cru aux victoires de la musique (:P) AD]