Un système de 16 équations

dans Arithmétique
Titre initial Petit problème bien chiant
[Euzenius : évite les titres merdiques.
Merci. AD]
Amis du forum, bonsoir
Voici un système de seize équations dont toutes les inconnues X0, X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, Y0, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6 valent 1 ou -1. Saurez-vous trouver une solution en deux coups de cuillères à pot ?
X0Y3Z0+X1Y2Z1-X2Y1Z2-X3Y0Z3-X5Y6Z5+X6Y5Z6 = 0
X0Y3Z1+X1Y2Z0+X2Y1Z3+X3Y0Z2+X5Y6Z4-X7Y4Z6 = 0
X0Y3Z2+X1Y2Z3+X2Y1Z0+X3Y0Z1+X6Y5Z4-X7Y4Z5 = 0
X0Y3Z4+X1Y2Z5-X2Y1Z6+X5Y6Z1-X6Y5Z2+X7Y4Z3 = 0
X0Y5Z0+X1Y4Z1+X3Y6Z3-X4Y1Z4-X5Y0Z5-X6Y3Z6 = 0
X0Y5Z1+X1Y4Z0-X3Y6Z2+X4Y1Z5+X5Y0Z4+X7Y2Z6 = 0
X0Y5Z2+X1Y4Z3-X3Y6Z1+X4Y1Z6-X6Y3Z4+X7Y2Z5 = 0
X0Y5Z4+X1Y4Z5+X4Y1Z0+X5Y0Z1+X6Y3Z2-X7Y2Z3 = 0
X0Y6Z0+X2Y4Z2+X3Y5Z3-X4Y2Z4-X5Y3Z5-X6Y0Z6 = 0
X0Y6Z1-X2Y4Z3-X3Y5Z2+X4Y2Z5+X5Y3Z4+X7Y1Z6 = 0
X0Y6Z2-X2Y4Z0-X3Y5Z1+X4Y2Z6-X6Y0Z4+X7Y1Z5 = 0
X0Y6Z4+X2Y4Z6+X4Y2Z0+X5Y3Z1+X6Y0Z2-X7Y1Z3 = 0
X1Y6Z1-X2Y5Z2-X3Y4Z3+X4Y3Z4+X5Y2Z5-X6Y1Z6 = 0
X1Y6Z0+X2Y5Z3+X3Y4Z2-X4Y3Z5-X5Y2Z4+X7Y0Z6 = 0
X1Y6Z3+X2Y5Z0+X3Y4Z1-X4Y3Z6-X6Y1Z4+X7Y0Z3 = 0
X1Y6Z5-X2Y5Z6-X4Y3Z0-X5Y2Z1+X6Y1Z2-X7Y0Z3 = 0
Je sèche pour le moment mais il y a des solutions...
Euzenius
[Euzenius : évite les titres merdiques.

Amis du forum, bonsoir
Voici un système de seize équations dont toutes les inconnues X0, X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, Y0, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6 valent 1 ou -1. Saurez-vous trouver une solution en deux coups de cuillères à pot ?
X0Y3Z0+X1Y2Z1-X2Y1Z2-X3Y0Z3-X5Y6Z5+X6Y5Z6 = 0
X0Y3Z1+X1Y2Z0+X2Y1Z3+X3Y0Z2+X5Y6Z4-X7Y4Z6 = 0
X0Y3Z2+X1Y2Z3+X2Y1Z0+X3Y0Z1+X6Y5Z4-X7Y4Z5 = 0
X0Y3Z4+X1Y2Z5-X2Y1Z6+X5Y6Z1-X6Y5Z2+X7Y4Z3 = 0
X0Y5Z0+X1Y4Z1+X3Y6Z3-X4Y1Z4-X5Y0Z5-X6Y3Z6 = 0
X0Y5Z1+X1Y4Z0-X3Y6Z2+X4Y1Z5+X5Y0Z4+X7Y2Z6 = 0
X0Y5Z2+X1Y4Z3-X3Y6Z1+X4Y1Z6-X6Y3Z4+X7Y2Z5 = 0
X0Y5Z4+X1Y4Z5+X4Y1Z0+X5Y0Z1+X6Y3Z2-X7Y2Z3 = 0
X0Y6Z0+X2Y4Z2+X3Y5Z3-X4Y2Z4-X5Y3Z5-X6Y0Z6 = 0
X0Y6Z1-X2Y4Z3-X3Y5Z2+X4Y2Z5+X5Y3Z4+X7Y1Z6 = 0
X0Y6Z2-X2Y4Z0-X3Y5Z1+X4Y2Z6-X6Y0Z4+X7Y1Z5 = 0
X0Y6Z4+X2Y4Z6+X4Y2Z0+X5Y3Z1+X6Y0Z2-X7Y1Z3 = 0
X1Y6Z1-X2Y5Z2-X3Y4Z3+X4Y3Z4+X5Y2Z5-X6Y1Z6 = 0
X1Y6Z0+X2Y5Z3+X3Y4Z2-X4Y3Z5-X5Y2Z4+X7Y0Z6 = 0
X1Y6Z3+X2Y5Z0+X3Y4Z1-X4Y3Z6-X6Y1Z4+X7Y0Z3 = 0
X1Y6Z5-X2Y5Z6-X4Y3Z0-X5Y2Z1+X6Y1Z2-X7Y0Z3 = 0
Je sèche pour le moment mais il y a des solutions...
Euzenius
Réponses
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Un petit coup de base de Gröbner, en rajoutant les équations x*x-1=0 ?
Richard -
Oh non Ritchie,
inutile je crois d'écraser une mouche avec un marteau pilon dont il faut se farcir le mode d'emploi écrit en javanais extérieur et dont le résultat, question merlin, est encore peu concluant sur le plan algorithmique.
Si je me réfère à un système plus réduit (pour résoudre la conjecture alternée dont le pendant positif avait été démontré par Dickson selon les références que tu as bien voulu me fournir voici quelques mois), il semble que l'on puisse supposer Z0, Z1... tous égaux à 1 (ou alors X0, X1,... : ou encore Y0, Y1...)
Pour l'instant je compte sur le feeling des uns et des autres faute de bonne cuillère à pot pour sortir une solution comme par enchantement. Ce système est naturellement connecté à la recherche d'une démonstration élémentaire de l'Euzeka de Gauss (tout naturel 3M8 - ie congru à 3 modulo 8 - est somme de trois carrés). Voir le post-fil "representations quadratiques de naturels".
Euzenius -
Il y a 16 variables, qui peuvent prendre 2 valeurs chacune, ce qui fait $2^{16} = 65536$ possibilités à envisager, ce qui n'est pas énorme. Avec un ordi, ça doit pas être trop long (mais j'ai la flemme de taper ces supers expressions (:P) )
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Bonsoir,
C'est ce que vais finir par faire of course à quelques puissances de 2 près (on ne va pas chipoter), mais bon je voulais voir si quelqu'un pouvait, à vue de nez, sortir une solution de son chapeau. Je me donne encore quelques jours...
Euzenius -
Bonsoir Euzenius
Comme il y a 8 variables X, et 7 variables Y et Z, cela fait $2^{22} \sim 4$ millions de cas, ce qui ne prend qu'une dizaines de secondes pour mon PC.
J'ai écrit en perl le programme pour balayer tous les cas.
Il y a finalement 2048 solutions.
Le fait que $2048=2^{11}$ laisse augurer que peut-être des arguments formels pourraient être utilisés, des symétries entre les variables ?
Je joins le fichier de résultats et le programme perl (où j'ai ajouté .txt pour qu'il passe sur le forum)
Il faut le renommer sans .txt et lancer dans une fenêtre terminal (si perl est installé sur ta machine)
\% perl euzenius.pl
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Merci beaucoup AD,
Sauf que je suis sur le départ (vie de nomade et bohème d'artiste atypique créateur de "Euzenius de Fribourg mathématicien suisse" - une performance selon le jargon de l'art contemporain) Je vais regarder cela très rapidement et le reprendrai sous quinzaine. de plus je squatte "l'apple cube" familial lequel est saturé et ne dispose pas des commodités que tu évoques. Je comptais mettre à profit mon éloignement pour concocter le programme ad hoc, mais si c'est déjà fait
En fait le problème posé résulte de l'usage de la "divine identité" (voir le post "représentations quadratiques de naturels") avec le paramètre t=-1 en partant de la forme des naturels 2M8:
n = a^2+b^2+c^2 - u^2
a, b, c, u naturels impairs que l'on remplace par s_a.a respectivement, s_a étant le signe donc + ou - 1
On multiplie par 1=1^2-1^2+1^2-1^2+1^2-1^2+1^2 (en tenant compte des signes) deux fois de suite si bien que l'on obtient la forme :
n = x^2+y^2+z^2-w^2 + X^2-U^2-V^2-W^2
où x,y,z sont des entiers relatifs impairs et X, U, V, W des relatifs pairs qui doivent être absolument nuls si l'on veut conserver la forme de départ d'où les seize (4x4) équations qui représentent les coefficients de la combinaison linéaire de a, b, c, u pour chacun des termes pairs.
Parmi les 2048 solutions comme choix de signes, beaucoup vont redonner les mêmes solutions pour x, y, z, w en tant que combinaisons linéaires de a, b, c, u et parmi elles je pense (mais ce n'est pas encore démontré et pour cause faute de les avoir entièrement identifier) une au moins strictement descendante c'est à dire w<u dès lors que u>1 et donc une démonstration élémentaire de l'eureka de Gauss (tout naturels 3M8 est somme de trois carrés).
Voilà encore merci.
Euzenius
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