Compacité et distances

Bonsoir,

il me semble que sur un espace topologique X compact toutes les distances sont équivalentes. Me trompe-je ?

En fait, en étudiant d(x,y)/d'(x,y) sur X x X privé de sa diagonale, ça apporte une preuve non ?

Réponses

  • Salut $\tau^2$,

    Il me semble que tu te trompes ! Sauf erreur, $d'=\sqrt{d}$ est une distance topologiquement équivalente à $d$, mais pas équivalente. Le problème est que $(X \times X) \setminus \Delta$ n'est pas trop compact en général.
  • De plus, il y a des espaces compacts non métrisables...
  • En effet, j'ai encore perdu une occasion de me taire :D
  • Non, toto, il faut positiver et dire que tu nous a donnés une occasion de la ramener.. ;)
  • Et de se marrer un bon coup sur ton dos (:D
  • Pour clouer le bec à tous ces ricaneurs, je te conseille de prétendre que tu avais mal formulé ta question initiale et qu'il te semblait en fait que sur un compact métrique, toutes les distances topologiquement équivalentes sont uniformément équivalentes, et engendrent donc la même structure uniforme (naturelle sur le compact)... après rira bien qui rira le dernier !
  • Aleg
    peux-tu exiber un tel espace?

    merci
  • Salut geo,

    On a souvent parlé sur le forum de $K=[0,1]^{\R}$, muni de la topologie produit (topologie de la convergence simple), qui est compact comme produit de compacts d'après le théorème de Tychonoff. Mais il n'est pas séquentiellement compact : il existe une suite n'ayant aucune sous-suite convergente.

    Or pour un espace métrique, la compacité est équivalente à la compacité séquentielle. Donc la topologie de $K$ ne peut pas être induite par une métrique !
  • évidemment, les métrisables non compacts n'intéressent personne, j'imagine.:-(
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • $\R$ n'intéresse personne ? ;)
  • C'est tellement banal...
  • pour répondre à geo :
    le compactifié de Stone-Cech de $\N$ est compact non métrisable.
    voir exemple 111 du Steen & Seebach.
    évidemment, ce genre d'exemples est assez peu intuitif..
  • Aaaah le compactifié de Stone-Cech de $\N$ ! L'extase topologique :)
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