Théorème de Gödel et arithmétique

Bonsoir à tous,

je me pose une question excessivement simple à laquelle vous allez pouvoir me répondre très facilement !

Considérons une propriété P sur les entiers naturels. Celle-ci est soit vraie soit fausse (en définissant vraie par : il n'existe pas de contre exemples), peu importe le modèle, la théorie, etc ...

Maintenant le théorème de Gödel entre jeu, peut-être que P va être indécidable avec les axiomes usuels. Dans ce cas P sera forcement vraie (sinon on pourrait prouver que P est faux en exhibant un contre exemple). Du coup cela veut dire qu'on ne pourras pas prouver que P est indécidable (puisque si on le prouve alors on a prouvé que P est vraie).

La conclusion est que l'on peut être perdu face à P, si P est vraie et indécidable on ne pourra le savoir avec certitude qu'une fois qu'on aura rajouté assez d'axiomes pour que ce ne soit plus le cas. N'est ce pas dramatique ?

Réponses

  • "Considérons une propriété P sur les entiers naturels. Celle ci est soit vraie soit fausse (en definissant vraie par : il n'existe pas de contre exemples), peu importe le modele, la theorie, ect ... "

    Elle peut être indécidable aussi.


    "si P est vraie et indecidable "

    Une propriété qui est indécidable n'est pas vraie!
  • Je ne crois pas Toto, en effet une propriété sur les entiers ne peut etre que vraie ou fausse dans le sens ou soit il existe un contre exemple soit il n'en existe pas ... je ne vois pas ou l'indecidabilité intervient ici. Dans ce cas on devrait plutot parler "d'indemontrabilité" (mais il est vrai que dans le cas general c'est le terme indecidable qui est le plus adequat).
  • Bonjour Seb67.

    Préférant le terme de non déductible à indécidable (qui a d'autres sens possibles) je m'en tiendrai au premier.

    Si un énoncé P est non déductible des axiomes de Peano (théorie Ar), cela signifie qu'il existe un modèle de la théorie Ar + {P} et qu'il existe un modèle de la théorie Ar + {non P}.

    Pour reprendre ton raisonnement, un énoncé peut-être vrai dans le modèle standard de l'arithmétique et faux dans au moins un autre modèle (nécessairement non standard). On retombe sur la méthode classique permettant de montrer qu'un énoncé n'est pas déductible d'une théorie : exhiber deux modèles de la théorie, l'un satisfaisant P et l'autre satisfaisant (non P).

    Bruno
  • Je pense m'etre mal exprimé Bruno. Prenons un exemple concret : la conjecture de Goldbach. Intuitivement peu importe le modele que l'on a, cette proposition admet un contre exemple ou n'en admet pas.

    A partir de la 2 possibilités :
    - soit il existe un contre exemple et on peut le trouver (on pourrait tomber dessus par hasard)
    - soit il n'existe pas de contre exemples, dans ce cas la soit on peut le deduire des axiomes usuels soit on ne peut pas. De plus si il s'averait qu'on ne pouvait pas le deduire des axiomes usuels on ne pourra pas le prouver (car prouver qu'on ne peut pas le deduire des axiomes usuels reviendrait a dire qu'il n'existe pas de contre exemple, en effet par contraposé si il existait un contre exemple ce contre exemple serait une preuve qu'il existe bien un contre exemple !).

    On est donc dans la situation suivante : soit il existe un contre exemple, soit il n'en existe pas mais on ne pourra peut etre jamais le savoir (a moins de rajouter des axiomes).
    Est ce que mon raisonnement est correct ?
  • Reprenons l'exemple de la conjecture de Goldbach (c'est un excellent exemple et je te remercie de l'avoir abordé :)-D).

    Ou bien cet énoncé n'est pas démontrable, ni sa négation, et il existe un modèle (des axiomes de Peano) où tout nombre pair différent de 2 est la somme de deux nombres premiers et un modèle où ce n'est pas le cas. Ce n'est pas une histoire d'intuition, c'est l'application du théorème de complétude de Gödel.

    Maintenant, on a déjà eu une discussion sur le cas précis de la conjecture de Goldbach. En raison de la structure particulière de l'énoncé, on a la propriété remarquable suivante :

    Si la conjecture de Goldbach n'est pas démontrable, alors le modèle standard est un modèle de cet énoncé. Cela tient au fait que si un nombre pair est la somme de deux nombres premiers, ces deux nombres sont majorés par le nombre pair. Or le modèle standard est un segment initial de n'importe quel modèle de l'arithmétique.

    Quant à l'existence de contre-exemples à un énoncé donné, c'est justement une affaire de modèle quand cet énoncé n'est pas déductible des axiomes.

    Bruno

    Qui espère t'avoir correctement compris et être clair ;). Ces questions ne sont pas simples à saisir et je n'en rougirai pas si on me montre une erreur.
    [Une erreur, je ne saurais la trouver, mais quelques coquilles typographiques corrigées ;) AD]
  • Salut Bruno,

    je crois que ta derniere phrase pointe l'erreur dans mon raisonnement. Tu dis que l'existence de contre exemples peut dependre du modele (si la prorpiété est indecidable). Je trouve ça profondement contre intuitif ! Imaginons que dans un modele il existe un contre exemple a la conjecture de Goldbach. Cet exemple sera un nombre entier pair. Maintenant que je l'ai je peux verifier avec un ordinateur si il se decompose ou pas en somme de deux nombres premiers et cela independamment de mon modele ! Ou est l'erreur ?
  • Bonjour Seb67.

    Supposons que l'on ait un contre-exemple à l'hypothèse de Goldbach dans le cas où cet énoncé n'est ni démontrable ni infirmable, en aucun cas tu ne pourras soumettre l'entier à un ordinateur parce que cet entier ne sera pas standard.

    Si tu trouves un contre-exemple standard, alors il existe une démonstration de la négation de l'hypothèse de Goldbach puisque le modèle standard est un segment initial de l'arithmétique donc tout modèle de l'arithmétique contient le contre-exemple.

    Reprenons. Tout est dans le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre de Gödel. Je cite :
    Toute théorie non contradictoire possède un modèle.

    Appliquons ce théorème au cas qui nous intéresse : l'hypothèse de Goldbach :

    Si cette hypothèse est compatible avec les axiomes de Peano, il existe un modèle de l'arithmétique qui vérifie l'énoncé (donc il n'y a pas de contre-exemple dans ce modèle, ce qui entraîne incidemment, que le modèle standard n'en comporte pas non plus et est un modèle de l'hypothèse de Goldbach).

    Si l'hypothèse de Goldbach n'est pas un énoncé démontrable de l'arithmétique, alors sa négation est compatible avec les axiomes de Peano et il existe un modèle de ces axiomes qui contient un contre-exemple.

    Bref, si l'hypothèse de Goldbach n'est ni démontrable ni infirmable, il existe un modèle de l'arithmétique de Peano qui vérifie l'hypothèse et un autre modèle qui nie cette hypothèse.

    Prenons un autre exemple : le postulat des parallèles.

    Tout plan affine euclidien est un modèle des cinq postulats d'Euclide.

    Le demi-plan et le disque de Poincaré sont des modèles des quatre premiers postulats et de la négation du cinquième.

    C'est exactement la même situation.

    Bruno
  • Peut-être que la définition qu'il me manque est celle d'un "entier non standard". En fait je n'arrive pas à imaginer deux modèles différents pour la conjecture de Goldbach qui ne parle que d'entiers, d'additions et de multiplications.

    Désolé, j'espère ne pas te paraitre trop entêté, j'aimerais vraiment comprendre (je comprends parfaitement ton exemple pour la géométrie, mais dans ce cas il est facile d'imaginer un modèle ou l'axiome des parallèles est vrai et un autre ou il ne l'est pas).
  • Bonjour

    j'en suis au même point de non compréhension que Seb67, une discussion ressemblante initiée par Jules m'avait laissée sur le même carreau (il me semble que je n'avais pas eu de réponse à ce qu'est un entier non standard). J'ai par ailleurs en tête des dires,ici même, Cristophe Chalons entre autres il me semble, sur le fait que $\N$ n'est finalement pas si intuitif que cela, qu'il n'y en a pas qu'un,sans trop comprendre plus que ça.

    Dans tous les cas je garde que les discussions deviennent très techniques et houleuses.

    S
  • Pour les entiers non standards, c'est, comme disais le capitaine Haddock, "très simple et très compliqué" :).

    D'abord sur le plan théorique.

    Donnons-nous une famille dénombrable de constantes $(c_n)_{n\in\N}$ et nous interprétons $c_n$ par l'entier $n$. Donnons-nous une suite finie d'entiers $(n_k)_{k<p}$, l'ensemble de formules :$$x > c_{n_1} \wedge x > c_{n_2} \wedge \cdots \wedge x > c_{n_p}$$ est compatible avec les axiomes de Peano puisque tout ensemble fini d'entiers est majoré.

    Là où cela devient sucré, c'est que le théorème de compacité du calcul des prédicats nous assure que pour tout système d'axiomes contradictoire, il existe un sous-système {\bf fini} également contradictoire. Cela n'a rien de sorcier : si l'on démontre une contradiction, une telle démonstration ne comporte qu'un nombre fini de formules, donc ne met en jeu qu'un nombre fini d'axiomes.

    Donc la théorie : $\text{axiomes de Peano}\ +\ \{x > c_n \mid n \in \N\}$ {\bf qui est finiment non contradictoire est non contradictoire} donc d'après le théorème de Gödel, cette théorie a un modèle. Dans ce modèle il y a un (et une infinité) d'"entiers" qui majorent "l'ensemble" des entiers habituels. Ce sont ces entiers qu'on appelle les {\bf entiers non standards}.

    Concrètement, le plus simple des modèles des axiomes de Peano (version ensemble ordonné) autre que le modèle standard est constitué par une copie de $\N$ à laquelle on ajoute une copie de $\Z$ ; disons $(\N \times \{0\}) \cup (\Z \times \{1\})$ on ordonne de la façon suivante : $(m,i) \leq (n,j)$
    \begin{itemize}
    \item si $i < j$ ;
    \item sinon, si, et seulement si $m \leq n$.
    \end{itemize}
    Il est facile de vérifier que $0 = (0,0)$ est le premier élément, que tout élément a un successeur, que tout élément sauf $0$ a un prédécesseur et que l'application successeur est injective. Le schéma de récurrence est un peu plus délicat à montrer et je vous demande de l'admettre :o. Bien entendu, les éléments de $\Z \times \{1\}$ sont les entiers non standards du modèle.

    Mettons-nous d'accord : on parle d'arithmétique {\bf du premier ordre} donc l'habituel axiome de récurrence : "toute partie de $\N$ non vide, qui contient $0$ et qui est stable par passage au successeur..." ne fait pas partie des énoncés du langage. Il est clair qu'au second ordre, on n'a pas un modèle de l'arithmétique.

    On peut construire des modèles plus sophistiqués en faisant appel à la technique des ultra-puissances, mais le résultat est le même.

    J'ajoute qu'un résultat appelé "Théorème de Löwenheim-Skolem" assure que l'arithmétique de Peano admet des modèles de toute cardinalité infinie, ce qui prouve qu'il y a beaucoup de modèles non standards de l'arithmétique ;).

    Bruno
  • Merci Bruno pour la peine et le temps de répondre.
    Je ne sais pas ce que j'ai compris mais j'ai compris quelque chose, mais à mon degré de compréhension, haem, je ne comprends toujours pas, avant de dire n'importe quoi :

    - (13,1) est un nombre premier non standard?
    - (-13,1) de même?

    J'ai l'impression que le problème est décalé, et que si un contre-exemple standard existe, alors il en est de même d'un contre-exemple non standard, et surtout, réciroquement si l'on a un contre-exemple non standard il en existe un aussi standard.

    je répète, en tout cas merci pour l'éclaircissemnt et les références Bruno.

    S
  • Je pense etre sur la voie de la comprehension !

    Voila nos trois possibilités pour resoudre Goldbach :
    - trouver un contre exemple dans les entiers "classiques"
    - prouver Goldbach
    - trouver un contre exemple à Goldbach dans un autre modele des entiers et prouver que dans un autre modele rajouter "Goldbach est vrai" n'amene pas de contradiction

    Maintenant une nouvelle question : ne pourrait on pas rajouter des axiomes pour que le seul modele à isomorphisme près soit le modele classique ? Ainsi on aurait la propriété logique qui est : soit on peut demontrer goldbach avec nos nouveaux axiomes soit on peut trouver un contre exemple.

    Je suis sur que je fais plein d'erreurs de raisonnement, à vous de me dire lesquels :)
  • Samok, tu poses une question concrète difficile !

    Une des limitations de la méthode et que les néophytes ne saisissent pas du premier coup (et dont je ne suis pas certain d'avoir bien cerné tous les aspects) repose sur le choix du langage.

    Le modèle simple dont j'ai parlé est un modèle pour tout ce que l'on peut formuler en arithmétique grâce à la relation d'ordre et à la fonction successeur. Mais dans ce modèle on ne peut formuler ni l'addition ni la multiplication. De ce fait, on ne peut pas non plus expliciter la notion de nombre premier.

    Dans son ouvrage "Non standart analysis", A. Robinson a décrit des modèles de l'arithmétique, il a montré, me semble-t-il, que le plus petit modèle de l'arithmétique de Peano comprenant les lois d'addition et de multiplication était :$$\N \cup (\Z \times \Q^*)$$mais je ne m'avancerai pas à décrire les lois, il faudra aller consulter l'ouvrage dans une bibliothèque.

    Je pense que l'on peut également consulter "Logique mathématique" de D. Lascar et R. Cori, tome 2 p. 66 et suivantes.

    Bruno
  • Là Seb67 tu poses une question à ma portée :
    ne pourrait on pas rajouter des axiomes pour que le seul modèle à isomorphisme près soit le modèle classique ?

    Non en raison du théorème de Löwenheim-Skolem : Si une théorie a un modèle infini, elle a un modèle de tout cardinal au moins égal à celui de son langage. Ergo L'arithmétique de Peano (même avec le langage plus riche incorporant les opérations) admet des modèles de n'importe quel cardinal (:P).

    J'oubliais, l'arithmétique de Peano admet plusieurs modèles dénombrables, donc tu ne t'en sortiras même pas en essayant de limiter le cardinal du modèle.

    Bruno

    Sur ce, je ferme pour ce soir Bonne nuit à tous.
  • Ce théorème de Löwenheim-Skolem est vraiment hallucinant et encore plus déprimant que le théorème de Gödel je trouve ..

    Sinon il y a une chose que je ne comprends pas, quand on se place dans un modèle en particulier quels outils supplémentaires (par rapport aux axiomes de la théorie) a-t-on pour pouvoir prouver quelque chose qui serait indécidable dans la théorie ?
  • Bonjour Seb67.

    Alors autre théorème (de "Je ne sais plus qui", le plus grand logicien de l'histoire) ; si M est un modèle d'une théorie, on appelle "théorie de M" l'ensemble de tous les énoncés valides dans M (ou si tu préfères, tous les énoncés dont M est modèle) ; la théorie de M est complète.

    Donc, en principe, quand tu te places dans un modèle particulier d'une théorie, tu choisis un énoncé et il te suffit de vérifier que ce modèle est modèle de cet énoncé. Si par hasard il ne l'est pas, alors il est modèle de la négation de cet énoncé.

    Bien entendu, tout est dans le il suffit :D, cela peut-être très ardu !

    Bruno
  • Vu ta reponse ma question initiale devrait etre comprise comme : qu'est ce qu'un modele et comment le definit on .. Si possible de maniere simple (par exemple comment definir le modele "classique" des nombres entiers ?)
  • Désolé Seb67,

    Je n'ai vraiment pas envie d'écrire une énième fois sur le forum ce que sont :

    - des réalisations d'un langages,

    - la notion de satisfaction d'une formule,

    - la notion de modèle.

    Voici ce que je te propose : d'ici deux ou trois jours, je retrouverai et remanierai si nécessaire mon document (faut bien compter 24 à 48 heures) et te l'enverrai personnellement. D'ici là, envoie-moi ton courriel par message privé.

    Bruno

    P.S. Bien sûr, la liste d'inscription n'est pas close ; je pense notamment à samok que j'ai déçu avec ma dernière réponse.
  • Salut seigneur Bruno !

    J'ai du mal à comprendre cette démarche.
    $\cdot$ Ou bien le document que tu évoques a déjà été posté sur le forum : dans ce cas pourquoi ne pas en donner le lien ici ?
    $\cdot$ Ou bien le document n'a jamais été posté : pourquoi ne pas le faire sur ce fil ?
    $\cdot$ Ou bien le document est un extrait d'un livre que tu as écrit, ce qui rend sa mise en ligne sur le forum illégale, auquel cas pourquoi ne pas donner la référence ?

    Il faut bien garder en tête que ce forum (sans parler du fait qu'il est très reconnu) est bien classé par les moteurs de recherche. Je pense qu'il est fréquent qu'une recherche Google conduise à des anciens messages sur ce forum (sans compter les gens qui font directement une recherche sur le forum). Si quelqu'un tombe sur ce message dans un an et te contacte pour profiter de l'aubaine, peut-être auras-tu égaré le document d'ici là.
  • Bonjour barbant raseur.

    Parce que "souvent Bruno varie, bien fol est qui s'y fie" ! La version mise sur le forum date de 2002/2003, mes premières interventions. Il m'est plus facile de récupérer le texte de mon archive et de remanier ce texte en fonction de l'état actuel de mes idées que de rechercher un texte datant de cinq à six ans.

    Bruno
  • Bon voilà un bout de temps que je remonte l'ensemble de mes messages (depuis septembre 2002), à chaque fois que je tombe sur un lien vers une pièce jointe, j'ai un message "erreur 104, file not found".

    Je cherche encore un peu et j'abandonne.

    Bruno
  • J'ai eu le même problème en cherchant.

    Je ne voulais surtout pas que tu te donnes autant de mal !!

    Ma remarque concernait surtout le fait d'envoyer par mail un document qui peut être mis en ligne.
  • Parce que je ne veux pas raser tout le monde, vu les idées de Russel sur la question (:D !

    Bruno
  • Je l'ai eu

    Mais... il est introuvable ! Probablement en raison du changement de forum ou de site hébergeur.

    Bruno
  • C'est vrai, c'est mon boulot à moi ça ;)
    Même si ton avatar ressemble plus que le mien au fameux barbier qui ne peut ni se raser lui-même, ni être rasé par autrui (:D

    NB: je répondais au message précédent. Bravo d'avoir retrouvé le pdf! J'étais tombé sur plusieurs fils de discussions avec Martial, mais pas celui-là.
  • Bonjour Bruno

    Non, non, tu ne rases personne (heureusement (:D, ça me ferait tout drôle :S ).
    J'ai été impressionné par le modèle des entiers non standards que tu viens de présenter. Je me demande ce qu'est le schéma de récurrence, comment "passe-t-on" des standards aux non standards ?
    Parce que dans une vision naïve, n'importe quelle propriété serait vraie sur les non standards
    Exemple la propriété : $P_n : 1=1$ si $n$ est standard et $0=1$ si $n$ est non standard.
    L'initialisation démarre en 0 standard et se poursuit sans problème sur les standards, et pour les non standard, puisqu'il n'y a pas d'initialisation (tout non standard admet un prédécesseur) la récurrence marche bien ...
    Je viens d'inventer un schéma de récurrence "naïf" qui ne doit pas en être un puisqu'il ne marche pas !

    Alain
  • AD, "n est standard" n'est pas un énoncé formulable dans notre langage.
  • Bravo Barbant raseur ! Tu es bien plus obstiné que moi.

    Ben on le remet ici :

    Bruno
  • Bonsoir Alain.

    Et pour cause que ton ingénieux exemple ne fonctionne pas : comment exprimer dans le langage de l'arithmétique la propriété "$n$ est standart" ? Donc tu fais une récurrence sur un énoncé qui n'appartient pas à l'ensemble des énoncés du langage {\bf or} le schéma de récurrence consiste à écrire la formule :$$\bigg(P(0) \wedge \Big(\forall\,n\ \big(P(n) \Longrightarrow P(n+1)\big)\Big)\bigg) \Longrightarrow \big(\forall\,n\ P(n)\big)$${\bf pour toute formule P du langage}.

    Bien entendu, il y a des propriétés qui ne sont pas vraies pour les non standards : tous les énoncés (du langage, toujours lui) dont la négation est un théorème !

    Bruno

    P.S. Le Barbant raseur t'a déjà répondu, mais je poste comme si de rien n'étais.
  • Réponse au premier post: une énoncé faux n'a pas forcément de "contre-exemple": si tu prends $\forall x\exists y: blabla(x,y)$ dire que c'est faux, c'est dire qu'il existe a tel que pour tout b non blabla(a,b). Ce serait un peu abusif de prétendre que $a$ est un "contre exemple". Si l'énoncé $\exists xblabla(x)$ est faux, c'est que pour tout $a:blabla(a)$... Pas de contre-exemple.

    Le théorème de Godel implique en particulier qu'il existe des énoncés qui sont ni prouvables, ni réfutables avec les axiomes de l'arithmétique + la récurrence et qui s'expriment avec juste les signes $\forall;\exists;+;\times;0;successeur;=$

    En allant un peu plus loin (théorème de Matiasevic(? orthographe)), on peut même choisir des énoncés du genre $\exists x_1,x_2...x_n P(x)=Q(x)$ où P,Q sont des polynômes sans coefficients

    Mais ne te trouble pas de ça. Il n'y avait aucune raison (à part de la religion) pour que toute question soit tranchable par un argument scientifique, et à forciori par une démonstration arithmétique

    Je crois que je l'ai déjà dit: la meilleure façon de comprendre le TH de Godel: tu mets une petite musique douce (de la dream par ex), tu réfléchis d'abord à ce que sont les mathématiques (pas à ce qu'elles cherchent, mais à comment elles estiment l'avoir trouvé: on ne désire que ce qu'on n'a pas) pendant disons 1h.

    Puis: tu penses à la phrase "je suis fausse" (ou plutôt à la phrase "j'implique tout", que j'appelle Q). Fais l'exercice zen consistant à remarquer que si "elle existe au sens profond" alors sa seule "existence" permet de tout prouver, qu'elle soit "vraie" ou "fausse".

    Une fois que tu t'es bien creusé la tête avec ces apparents cercles vicieux, tu pars faire du ski une semaine. (incubation inconsciente)

    Au retour, tu décides de contempler la phrase "je suis improuvable avec des méthodes arithmétiques" (je l'appelle P). Sur le moment, tu te diras que t'es confronté à la même confusion que pour l'autre phrase. Mais comme tes vacances au ski t'ont bien détendu, tu auras le "déclic". Euréka, la question "P est-elle démontrable avec des méthodes arithmétiques?" est mathématiquement parfaitement claire (sous réserve que le soient ce qu'on appelle les méthodes arithmétiques, mais il se trouve qu'elles le sont), contrairement à Q!!!!! Une fois que tu as eu cet éclair de génie, tu n'as plus qu'à réfléchir. Tu prends un brouillon et tu essayes de déterminer P (avec des méthodes arithmétiques): tu vas avoir une satisfaction masochiste! En effet, tu "sens" que tu auras du mal à la prouver, mais tu sens aussi que si tu la prouves, tu auras prouvé "tout" avec des méthodes arithmétiques.



    En ce qui concerne la logique et les modèles: voici un cours ultra concentré.
    On a un langage donné fait de verbe (éventuellement à plusieurs places), les prédicats et de sujets. Pas de compléments en langage math. On dispose aussi des connecteurs logiques, "et", "non", etc et de $\exists; \forall$

    Le (grand?) problème existentiel (au sens psy) des maths, c'est qu'elles n'ont aucun idée de ce que veulent dire les mots "vrai" et "faux". Qu'à cela ne tienne.

    Notre langage nous permet de faire des phrases formant l'ensemble Phrases. On s'amuse à prendre l'ensemble $V:=\{vrai;faux\}$ qui a 2 éléments.

    Définition: on appelle "prémodèle" une application de Phrases dans V. Un modèle est un prémodèle sans défaut. Qu'appelle-t-on défaut?

    Un défaut d'un prémodèle T c'est par exemple quand T(A)=vrai, T(B)=faux et T(A et B)=vrai. Ou encore quand $T(\forall x R(x))=vrai$ alors que pour tout sujet a, $T(R(a))=vrai$. Ou encore quand $T(\exists xR(x))=faux$ alors que T(R(a))=vrai, etc.

    Le théorème de {\bf complétude} dit que s'il n'existe pas de modèle qui rend vrai toutes les phrases d'un ensemble $H$ alors il existe une preuve qui se sert des phrases de $H$ comme hypothèses et qui aboutit à "tout", sachant que "preuve" veut juste dire "enchainement (fini!) d'évidences".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • A propos des entiers:

    les seules définitions connues et honnêtes de la propriété "être un entier" sont de la forme suivante:

    "y est un entier naturel" est, par définition, "pour tout ensemble E contenant 0 et stable par $x\to successeur(x): y\in E$"

    Parmi les ensembles $E$ il y a ceux qu'on peu "définit" avec des signes arithmétiques, mais il y en a beaucoup d'autres.

    Tu vois donc que la notion d'entier est "relative", puisqu'elle dépend des ensembles $E$ que tu possèdes comme notions préalable. Maintenant, si tu veux définir sans ambiguité une notion d'ensemble, bonne chance.

    Plus t'as d'ensembles, moins t'as d'entiers. Mais en toute honnêteté scientifique, il n'existe pas de procédé qui garantit l'absence d'entiers "infinis", précisément:

    appelons $T$ tous les ensembles dont TOI tu estimes disposer. TES entiers sont les y tel que pour tout ensemble $E\in T$ contenant 0 et stable par $x\to successeur(x): y\in E$.

    Qu'est-ce qui te garantit que tu n'as oublié aucun ensemble $A$ contenant 0 stable par successeur, un $A\notin ton \ T$, et tel que parmi tes entiers il y en ait un $z$ qui ne soit pas dans $A$?

    Et de fait, de nombreuses méthodes de logiques te permettraient, aujourd'hui, si tu les connaissais, de transformer ma question en réponse opposée à celle que tu attends: non seulement, rien ne te le garantit, mais en plus, tu as presque une garantie qu'il existe bien un tel $A\notin T$ que tu as oublié.

    Les arguments formels du fil tendent essentiellement à te faire remarquer qu'il SUFFIT D UN SEUL A contenant 0, stable par successeur et ne contenant aucun contre-exemple à GoldBach pour que "les humains" considèrent (s'ils disposent de A) que Goldbach est "vraie". C'est cette SUFFISANCE qui donne à un énoncé tel que Goldbach ce goût de concret, cette impression que la question a une réponse.

    Mais ce n'est qu'une impression...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je pense que les choses sont infiniment plus claires maintenant, merci !

    Juste pour conclure, la principale raison pour laquelle Goldbach pourrait ne pas avoir de réponse est qu'on ne peut pas définir de manière univoque ce qu'on appelle "entiers" à partir d'un système fini d'axiomes. C'est bien ça ?
  • J'ai mis en gras le théorème de complétude

    Ce n'est pas juste un sujet où les logiciens philosophent des heures sans lien avec les autres maths.

    <a href="http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/potpourriclass.php#thzero">Voic un exemple marrant qui l'exploite</a>. En général, dans la littérature sur les anneaux et les corps, le théorème des zéros de Hilbert n'est jamais prouvé de manière "simple", et ça laisse à penser aux lecteurs qu'il y a quelque subtilité de "haut niveau" à propos des corps ou des polynômes qui nécessite du back ground.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.